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기초 수학 내용 요약본 이 글에서는 고등학교 수학의 전 과정에 대한 내용을 요약하고자 한다. 비록 고등학교 수학의 전체 내용에 대해 깊게 이해하지 못한 상태이지만, 그래도 충분히 교과서적이지 않은 설명을 보태고 싶거나 헷갈릴 만한 내용들을 적어두고 싶은 부분들이 있어서 다른 학생들에게 도움이 되기를 바라는 마음으로 매우 간결하게 쓴다. 크게 15개의 주제로 나누었다. 1. 논리, 집합, 함수 수학의 논리체계는 미지수의 값에 따라 참/거짓이 달라지는 조건들 간의 연산으로 이루어진다. 중요한 연산은 AND, OR, NOT이며, 각각 진리집합의 교집합, 합집합, 여집합에 대응한다. 예를 들어서, NOT (p AND q)는 p 또는 q 중에서 하나라도 거짓이면 참이므로 (NOT p) OR (NOT q)와 같은데, 여기에 대응하는 집합..
내용 요약본 카테고리에 대하여 공부하다보면 기초적인 내용도 교과서에서는 볼 수 없는 새로운 관점에서 바라보게 될 때가 있는데, 이러한 관점이 때로는 문제풀이는 물론 학문에 대한 이해에 매우 유용하기도 하다. 그래서 이러한 관점들을 혼자만 가지고 있지 말고, 다른 사람들과 적극적으로 공유하고 싶다는 생각이 자주 들었다. 이것은 내가 블로그를 만든 가장 큰 이유이다. TNB Frame에 대해 나만의 방식으로 정리해보고, mixtilinear circle의 성질을 다른 문제와 관련지어 설명하는 등의 여러 글들을 써 왔다. 하지만 이렇게 하는 것은 두 가지 문제가 있었다: (1) 체계적이지 않다. (2) 매우 기본적인 내용에 대한 설명을 하지 않는다. 미적분학 II에 나오는 TNB Frame을 공부하면서 얻게 된 교과서에 나오지 않는 직관적..
로또 복권 당첨 확률 로또 복권의 당첨확률을 등수별로 구해보려고 한다. 이는 매우 초보적인 조합론 문제로, 확률을 처음 배울 때 나오는 예제 정도라 하겠다. 그래도 맨날 어려운 거만 하면 힘드니까 한번 정리해 보기로 했다. 1장 구매했을 때 당첨 확률 ($P_i$) 로또 규칙을 간단하게 설명하자면, 1부터 45까지의 자연수 중에서 구매자는 서로 다른 6개를 고른다. 로또를 추첨할 때는 서로 다른 '당첨번호' 6개를 먼저 고르고, 또 다른 하나를 골라서 '보너스 번호'라고 한다. 구매자가 고른 6개 중 6, 5, 4, 3개가 당첨번호와 일치하면 각각 1, 3, 4, 5등이다. 단, 5개가 일치하고 나머지 하나는 보너스 번호와 같으면 2등이다. 등수별 당첨 확률은 다음과 같이 계산할 수 있다. - 1등: 모든 조합 중에서 1등은..
N종류의 쿠폰을 모두 모으기 위한 뽑기 횟수의 기댓값 뽑기를 할 때마다 N종류의 쿠폰 가운데 하나가 무작위로 나오고, N종류의 쿠폰을 모두 모으면 상품을 주는 복권이 있다. N종류의 쿠폰을 모두 한 장 이상씩 모으기 위해서는 뽑기를 평균적으로 몇 번 해야 할까? 이는 매우 초보적인 조합론 문제이지만, 풀이 과정을 정리해 보려고 한다. 현재 가지고 있는 서로 다른 쿠폰의 개수를 X라고 하자. 초기에 $X=0$이고, $X=N$까지 가는 데의 뽑기 횟수 기댓값을 구해야 한다. 이는 $X=k$에서 $X=k+1$까지 가는 데의 기댓값 $E_k$을 모든 $0\leq k\leq N-1$에 대해 더하면 된다. 이제 $E_k$를 계산하자. $X=k$이므로 하나를 뽑았을 때 아직 뽑지 않은 쿠폰일 확률은 $(N-k)/N$이다. 그러면 왠지 직감적으로 이걸 뽑기 위해서는 확률..
JOI 2018 풀이 2월 5일 08시부터 12시까지 JOI 2018 셋을 돌았다. 그런데 운이 좋게도 11시 27분에 올솔브를 하게 되어, 남은 30분 가량의 시간 동안은 풀이를 쓰면서 푼 문제들을 정리해 보고자 한다. 참고로 3번은 정해가 아닌데 뚫은 거일 가능성이 높으며, 시간복잡도 증명도 제대로 하지 않았으니 정확한 풀이를 원하는 사람은 믿지 않도록 한다. 1번: Stove 각 사람 $i(1\leq i\leq N-1)$가 방문할 때마다 난로를 1초 동안은 켜야 하므로, 적어도 1의 비용이 소모된다. 여기서 i+1번 사람이 방문할 때까지 난로를 켜 놓는지, 1초 후에 끄는지에 따라 비용이 달라진다. 전자의 경우에는 총 비용이 $T_{i+1}-T_i$이므로, 추가적으로 비용 $T_{i+1}-T_i-1$이 소모된다. 그런데..
기저 (basis) 필요한 사람이 되고 싶어 좌표공간에서 표준단위벡터 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$처럼 유용하고 중요한 사람이 되고 싶어 $\frac{\sqrt2}{2}\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+\frac{1}{2} \hat{k}$처럼 더러운 벡터가 되기 싫어 하지만 수학자들은 이렇게 말하겠지 $\hat{r}=\frac{\sqrt2}{2}\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+\frac{1}{2} \hat{k}$와 $\hat{s}=\frac{1}{2} \hat{j}+\frac{\sqrt3}{2} \hat{k}$, 너희는 덜 중요한 게 아니야 모든 벡터가 $\hat{r} , \hat{s} , \hat{k}$로 표현돼 $a\hat{i}+b\hat{j}+c\hat{k}=\sq..
BOJ 17441번: 파리채 만들기 미적분학에 나오는 Green의 정리에 대해 학습한 후, 이를 사용하는 알고리즘 문제가 있다고 해서 찾아서 풀어보았다. Green의 정리를 제대로 이해하고 있다면, 그걸 모르는 사람에게도 설명할 수 있어야 하므로, 독자가 Green의 정리를 모른다고 가정하고 글을 써보기로 했다. 문제 내용과 계산식 다각형 모양의 영역 R에 두 점 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$가 있을 때, $PQ^2$의 기댓값을 구하는 문제이다. 연속적인 점의 위치에 대한 기댓값이므로 구하는 기댓값 E는 다음과 같이 적분으로 표현된다. 여기서 $dA_1=dx_1dy_1, dA_2=dx_2dy_2$ 이다. $$E=\left ( \iiiint_{P, Q\in R} dA_1 dA_2 \right )^{-1}\times\iiii..
3차원에서의 곡선을 기술하는 TNB Frame Thomas' Calculus 12장에 나오는 TNB Frame 관련 내용이 매우 흥미로우면서도 헷갈리는 부분이 있어서, 정리해 두고자 글을 쓰게 되었다. 벡터 미적분학의 기초 Thomas' Calculus의 1장부터 11장까지는 정의역이 실수이고 공역도 실수인 함수 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$을 다루었다면, 12장에서는 함숫값이 공간벡터인 함수 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$를 다룬다. 여기서 함수에 입력되는 값이 시간이고, 함숫값이 점의 위치벡터이면, 그 점의 움직임을 표현할 수 있게 된다. 즉, 10장에서 다룬 매개변수 방정식을 함수 형태로 표현한 것이라 하겠다. 함수 $$\overrightarrow{r}(t)=f(t)\..

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