이 글에서는 고등학교 수학의 전 과정에 대한 내용을 요약하고자 한다. 비록 고등학교 수학의 전체 내용에 대해 깊게 이해하지 못한 상태이지만, 그래도 충분히 교과서적이지 않은 설명을 보태고 싶거나 헷갈릴 만한 내용들을 적어두고 싶은 부분들이 있어서 다른 학생들에게 도움이 되기를 바라는 마음으로 매우 간결하게 쓴다. 크게 15개의 주제로 나누었다.
1. 논리, 집합, 함수
수학의 논리체계는 미지수의 값에 따라 참/거짓이 달라지는 조건들 간의 연산으로 이루어진다. 중요한 연산은 AND, OR, NOT이며, 각각 진리집합의 교집합, 합집합, 여집합에 대응한다. 예를 들어서, NOT (p AND q)는 p 또는 q 중에서 하나라도 거짓이면 참이므로 (NOT p) OR (NOT q)와 같은데, 여기에 대응하는 집합의 연산법칙은 드 모르간의 법칙인 $(P\cap Q)^C=P^C\cup Q^C$이다. 함수 $f: D\rightarrow R$는 두 집합 D, R 간의 관계이되, D의 원소에 대응하는 R의 원소가 단 하나여야 한다. D와 R이 실수의 부분집합인 경우 좌표평면에 그래프로 도시하면 x축에 수직인 직선이 그래프와 만나는 점은 하나 이하여야만 함수가 된다. R의 원소에 대응하는 D의 원소도 하나이면 일대일대응이라고 하며, 이 경우 역함수 $f^{-1}: R\rightarrow D$가 정의된다. 역함수의 그래프는 x축과 y축을 바꾼 셈이므로 $y=x$에 대해 대칭이다. 나는 꽤 오랫동안 $y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$의 그래프의 교점은 $y=x$위에 있다는 오개념을 가지고 있었던 거 같은데, $y=1/x$만 봐도 명백히 틀렸으며 증가함수일 때만 성립한다
2. 수 체계
정수에서 나눗셈의 정의에 유의해야 하는데, 나머지는 음수일 수 없으므로 -23을 5로 나눈 나머지는 -3이 아닌 2이다. 가장 직관적인 자연수를 바탕으로 정수와 유리수가 정의되었지만, $x^2=2$와 같은 방정식의 근은 유리수 범위에 없다는 사실이 밝혀지면서 수 체계는 실수로 확장되었다. 그러나 실수에서도 $x^2=-1$의 근은 없으므로, 복소수 범위로 확장되었다. 복소수 $z=a+bi(b\neq 0)$에서 $z+\overline{z}, z\overline{z}$가 모두 실수가 되는 유일한 복소수 $\overline{z}=a-bi$를 z의 켤레복소수라고 정의한다. z를 복소평면이라고 불리는 2차원 좌표계 상에서 (a, b)로 정의하기도 하는데, 여기서 원점과 (a, b)의 거리인 $\sqrt{a^2 + b^2}=|z|$를 z의 절댓값이라고 한다. 복소평면 상에서 켤레복소수는 실수축에 대해 대칭한 거라고 생각하면 성질을 이해하기 좀더 쉬울 수도 있다. 복소수의 도입이 부자연스럽게 느껴질 수 있지만, 모든 일차 이상의 다항식은 복소수 범위에서 하나 이상의 근을 갖는다는 '대수학의 기본 정리'를 생각하면 방정식의 근이 범위 내에서 없는 문제를 해결하기 위한 확장의 완성된 단계라는 것으로 받아들일 수 있을 것이다.
3. 다항식
일변수 다항식은 ${1, x, x^2, x^3, ...}$들에 상수배를 곱해서 더한 식(선형조합)이며 다루기가 쉬운 편에 속하는 함수이다. 다항식 P, Q, R이 P=QR이면 P는 Q와 R로 나누어떨어진다고 한다. 차수 $\deg P=n$는 P에서 계수가 0이 아닌 가장 높은 $x^n$으로 정의하므로, 상수함수의 차수는 0이고 영함수의 차수는 정의되지 않지만 경우에 따라 -1로 정의하기도 한다. 정수에서 나눗셈을 정의하듯이 다항식에서도 나눗셈이 정의되는데, 정수 또는 다항식의 나눗셈 $P_1\div P_2$에서 나머지 R은 $P_1$에서 $P_2$의 배수를 뺀 값이다. 단, 이때 정수에서는 $0\leq R<P_2$로 정의하면 유일하게 되었듯이, 다항식에서는 $\deg R<\deg P_2$로 정의하면 유일하게 된다. 몫 Q에 대한 정보가 없는 상태에서, $P_1=P_2Q+R$로 두면 $ P_2$의 근에서는 $ P_1, R$의 함숫값이 동일하므로 유용하다. 이것의 특수한 경우로, $P_2(x)=x-a$ 이면 R은 상수이므로 $R = P_1(a)$이다. 더욱 특수한 경우로, a가 $P_1$의 근이면 R=0이 되어 $P_1$이 $x-a$로 나누어 떨어진다는 인수정리를 얻는다.
인수정리와 대수학의 기본 정리를 결합하면, 임의의 다항식은 차수가 1 이상인 한 계속해서 복소수계수 범위의 일차식으로 인수분해할 수 있다. 결론적으로 차수가 n인 다항식은 $P(x)=(x-z_1)(x-z_2)...(x-z_n)$로 인수분해된다. 이 식의 우변을 전개하면 n차 방정식의 근과 계수의 관계를 얻는다. $n\geq4$인 경우는 기초 수준의 문제에서는 다루지 않아서 나는 그냥 $n=2, 3$을 외워서 풀기도 했던 거 같은데, 이러한 논리를 통해 직관적으로 이해하는 것이 중요할 것 같다.
다변수 다항식에서는 대칭적인 꼴을 다루는 것이 가장 중요한데, 적절한 공식을 이용하여 기본 대칭식(2변수는 $a+b, ab$, 3변수는 $a+b+c, ab+bc+ca, abc$)들과 상수의 합과 곱으로 변형하기만 하면 된다.
4. 대수함수
대수함수란 유한 번의 사칙연산과 거듭제곱근으로 만들어지는 함수다. 대표적으로 다항식, 유리식 등은 대수함수이다. 대수함수를 다루는 것은 기본적으로 다항식과 테크닉이 매우 유사하다. 거듭제곱근이 나오면 그만큼 제곱을 하면 되고(절댓값 $|x|$ 역시 $\sqrt{x^2}$랑 같으니 제곱하는 것이 괜찮다), 유리식이 나오면 분모를 양변에 곱해서 다항식으로 나누면 된다. 단 분모가 0인 경우나 제곱근 기호 안이 음수인 경우가 있는지는 반드시 살펴야 한다. 예를 들어 $\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 는 $a=b$와 동치가 아니며, $a=b$에서 a와 b가 음이 아니라는 조건이 함께 있어야만 한다.
특수한 몇몇 대수함수의 그래프로부터 많은 것을 유추할 수 있다. 이차함수는 준선이 y축에 수직인 포물선 모양이다. 유리함수는 두 점근선이 좌표축과 수직인 쌍곡선 모양이다. 제곱근이 씌워진 함수는 이차함수를 $y=x$에 대해 뒤집어서 준선이 x축에 수직인 포물선 모양의 일부분인데, 근호 안이 음수이거나 근호의 결과가 음수인 경우는 제외해야 한다. 그래프를 그리고 나면 방정식의 해를 도형의 교점으로 연관지을 수 있어서 편리하다.
5. 고전기하
고전기하는 좌표계를 도입하지 않고 순수한 논증만으로 기하학적 성질을 증명한다. 여기서는 유클리드 평면상에서의 기하만 다룰 것이다. 각도는 두 직선이 가지는 방향의 차이에 해당한다는 사실을 기억하면 동위각, 맞꼭지각 등의 관계가 자명하게 다가올 수 있다. 각도와 길이로 논의하는 논증기하에서 이 둘을 연관지어주는 성질은 합동과 닮음으로, 합동과 닮음을 찾으면 각도가 같다는 조건과 길이 비에 대한 조건을 연관지을 수 있다. 합동을 이용해서 얻을 수 있는 주요한 성질 가운데에는 '$AP=BP$인 P의 자취는 AB의 수직이등분선이다'와 '두 직선까지의 거리가 같은 점의 자취는 두 직선이 이루는 각의 이등분선이다' 등이 있으며, 이들로부터 외심, 내심, 방심의 존재가 증명된다.
원의 중요한 성질은 원주각이 중심각의 절반이라는 것이다. 이 사실은 삼각형의 한 내각을 그 외접원의 한 호에 할당하게 해준다. 또한, 이로부터 닮음을 찾을 수 있으며, 반지름이 r이고 중심이 O인 원에 대한 점 P의 방멱이라고 불리는 값 $OP^2-r^2$는 특히 유용하다.
6. 해석기하
해석기하는 좌표를 이용하여 기하학적 성질을 증명한다. 여기서는 마찬가지로 유클리드 평면상에서의 기하만 다룰 것인데, 유클리드 평면은 해석기하학적 관점에서는 두 실수의 순서쌍의 집합이므로 $\mathbb{R}^2$로 표현된다. 이때 두 점 사이의 유클리드 거리는 피타고라스 정리로부터 정의되는데, 이외에도 택시 거리나 체비셰프 거리와 같은 다양한 거리의 정의가 존재한다. 직선은 x, y에 대한 일차식의 꼴이다. 나는 점과 직선 사이의 거리의 공식이 잘 와닿지 않아서 힘들었던 거 같은데, 이를 직관적으로 이해하는 방법은 다음과 같다. 직선 $l:ax+by+c=0$과 점 $P(x_1, y_1)$이 주어져 있을 때, P를 지나고 l에 평행인 직선 $m: ax+by+c'=0$을 생각하면 l와 m 사이의 거리를 구하면 된다. 그런데 여기서 l을 단위 길이만큼 평행이동하면, l의 한 점의 $ax+by$값은 $\sqrt{a^2+b^2}$만큼 이동함을 알 수 있어서, l을 이동해서 m과 일치하게 만들기 위해 이동해야 하는 거리는 $|c-c'|/\sqrt{a^2+b^2}=|ax_1+by_1+c|/\sqrt{a^2+b^2}$이 된다.
두 점 사이의 거리가 정의되면 거리의 관계로 정의되는 이차곡선들인 원, 타원, 포물선, 쌍곡선의 방정식이 유도될 수 있다. 이들은 모두 이차함수로 표현되므로, 이차방정식의 판별식을 이용하여 직선 또는 서로 간의 위치관계를 확인할 수 있다. 특히, 원의 경우에는 중심으로부터의 거리가 모두 같다는 성질 때문에, 점과 직선 사이의 거리 또는 중심 간의 거리를 이용해서도 위치관계를 판단할 수 있다.
7. 수열
수열은 정의역이 자연수 전체의 집합인 함수이다. 정의역이 연속적이지 않고 따로따로 떨어져 있어 이산적이라는 성질 때문에 지금까지 다뤄왔던 그래프에 도시할 수 있는 함수와 특성이 많이 다르다. 수열의 이웃한 항의 차이나 연속된 일부분의 합을 구하는 것은, 수열의 특징을 파악하는 데 있어서 그 자체로 매우 중요할 뿐 아니라, 나중에 더욱 자주 사용되는 연속함수의 특징을 파악하는 미분과 적분의 이산적인 버전이기도 하다.
수열은 이산적인 대상에 대한 증명 방법의 기초를 제공하기도 한다. 수열의 일반항, 일부분의 합 등을 증명하기 위해서는 거의 항상 수학적 귀납법을 사용해야 한다. 수학적 귀납법이 성립하지 않는다고 가정하면, 명제가 성립하지 않는 최소의 자연수 n을 잡으면 n-1에서는 성립해야 한다. 그러나 n-1일 때 성립하면 n일 때도 성립해야 하므로 모순이 발생한다. 실제로는 자연수의 공집합 아닌 부분집합에는 최소원소가 존재한다는 명제와 수학적 귀납법이 성립한다는 명제가 동치여서 이 둘중 하나를 공리로 채택하는 논리체계를 이용한다.
8. 지수함수와 로그함수
대수함수를 넘어서서, 유한번의 사칙연산과 거듭제곱근으로는 표현되지 않는 함수를 다루어야 할 때가 있다. 예를 들어, A국가의 인구가 매년 2배로 늘어나면, 현재 인구가 a일 때 n년 후의 인구는 $a\times2^n$으로 등비수열이 된다. 그러나 인구는 실제로 연속적으로 변화하므로 지수를 연속적으로 확장할 필요가 있다. 두 자연수 p, q에 대하여, $q/p$년 후의 인구 $ax$를 구해보자. $q/p$년 만에 인구가 x배가 되므로, $q/p$년씩 p번 지나면 인구는 $x^p$배가 될 것이다. 그런데 q년이 지나면 인구는 $2^q$배가 되어야 하므로, $x^p=2^q$인 x를 $2^{q/p}$로 정의하는 것이 합당하다. 수학적으로는 지수법칙이 성립하도록 지수를 확장하였다고 볼 수 있고, 실제 현상에 접목하면 지수법칙을 보다 직관적으로 이해할 수 있다.
반대로 인구가 x배가 되려면 y년이 지나야 할 때 y의 값을 구하는 것도 생각해 볼 수 있으며, 이때는 지수함수의 역함수인 로그함수 $y=\log_2{x}$를 쓴다. 로그함수를 사용하는 이유는 매우 크거나 작은 수를 다룰 때 지수를 주인공으로 하면 작은 수들의 연산으로 되기 때문이다. 예를 들어서, $2^{6.02\times10^{23}}$이라는 수가 얼마인지 감이 잡히지 않으므로 1 뒤에 0이 몇 개 있는 수(10의 몇 거듭제곱)인지로 표현해보고 싶으면, 로그를 취해서 $2^{6.02\times10^{23}}=10^{\log_{10}{2}\times6.02\times10^{23}}=10^{1.81\times10^{23}}$이라고 하면 된다. 이렇게 큰 수를 직접 다루는 것은 너무나도 어려운 일이다. 로그는 매우 크거나 작은 수를 다룰 수 있게 해준다. 또한, 매우 크거나 작은 수의 곱셈과 나눗셈을, 다룰 수 있는 수준의 덧셈과 뺄셈으로 바꿔준다($\log{ab}=\log{a}+\log{b}, \log{(a/b)}=\log{a}-\log{b}$).
위와 같이 실수로 확장한 지수함수나 로그함수는 밑과 진수가 양수일 때만 정의됨에 유의해야 한다.(밑, 진수, 지수의 용어는 (밑) ^ (지수) = (진수) 와 log_(밑) (진수) = (지수) 이다. 지수는 모든 실수범위다.) 예를 들어, $\log_2{x^2}=2\log_2{x}$라는 식은 x가 음수일 때는 정의될 수 없기 때문에, 조건이 없으면 $\log_2{x^2}=2\log_2{|x|}$로 정리해야 할 것이다.
9. 삼각함수
각도는 원호의 길이이기도 하다(라디안의 정의). 그러므로 삼각함수는 각도와 길이를, 또는 더 정확하게는 원호의 길이와 선분의 길이를 연관지어주는 좋은 도구가 된다. 각도를 원호의 길이로 정의하는 순간, 원호를 여러 번 돌 수도 있으므로 각도의 조금 더 폭넓은 정의가 가능해진다. 또한 해석기하의 도구인 좌표로부터 '부호 있는 길이' 비슷한거를 써서 삼각함수는 임의의 실수로 확장이 된다. 삼각함수가 만족하는 성질이 워낙 다양하기 때문에, 기하학적 상황을 삼각함수로 표현하면 유용하다. 예를 들어서, 단위원 위의 점 (x, y)를 $x^2+y^2=1$이라는 수식으로 표현하는 대신, $x=\cos{\theta}, y=\sin{\theta}$로 표현하는 순간 변수는 하나가 되고 조건식 하나는 없어진다. 참고로 이차곡선은 모두 이런식의 표현이 가능하며, 가장 재미있는 예시로 쌍곡선 $x^2-y^2=1$위의 점 (x, y)는 $x=\sec{\theta}, y=\tan{\theta}$로 표현하면 된다.
삼각함수라는 도구는 고전기하학에서 각도와 길이를 바꿔주는 정량적인 도구를 마련하며, 어떤 관점에서는 닮음과 피타고라스 정리로 복잡하게 해야 할 계산의 shortcut을 제공한다. 대표적으로, 사인법칙 (현의 길이) = (원의 지름) * (원주각의 사인값) 은 현과 원주각(또는 중심각, 호)을 연관짓는다. 코사인법칙은 SAS로 결정된 삼각형의 다른 한 변의 길이를 구할 수 있게 할 뿐 아니라, 삼각 부등식과 피타고라스 정리를 모두 내포하는 공식이다.
10. 극한과 연속
수열에서는 따로따로 떨어진 수들 간의 관계를 분석했다. 미적분학은 연속적인 함수의 성질을 분석한다. 수열에서 '이웃한 두 항의 차이'를 분석하는 것이 유용했지만, 연속함수에서는 임의의 두 실수 a, b사이에 $(a+b)/2$가 존재한다는 성질 때문에 이웃한 두 함숫값이라는 개념이 없다. 수열에서 '연속된 일부분의 합'을 분석하는 것이 유용했지만, 연속함수에서는 임의의 구간에는 무한히 많은 실수가 존재한다는 성질 때문에 연속된 일부분의 함숫값들이 유한개가 아니다. 그래서 함수를 끊어서 수열처럼 생각하고 성질을 분석한 다음에, 그 끊는 간격이 너무 좁아서 함수에 '무한히 근접할' 때의 성질을 논의한다. 이를 위해서 필요한 개념이 극한이다.
먼저 수열의 극한부터 생각해 보자. 수열 $a_1, a_2, a_3, ...$에서 인덱스 n이 무한히 커질 때 $a_n$이 어떤 값 L에 한없이 가까워지면, $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L$로 쓴다. 보다 엄밀하게는, 임의의 양수 $\epsilon$을 생각해도 어떤 인덱스 $N$부터는 L과의 차이가 $\epsilon$이하여야 한다: $\forall \epsilon>0: (\exists N\in\mathbb{N}:(\forall n>N:L-\epsilon<a_n<L+\epsilon))$
함수에서는, 독립변수 x가 'a와 다른 값을 가지면서' a에 한없이 가까워질 때 함숫값 $f(x)$가 L에 한없이 가까워지면, $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$로 쓴다. $x=a$는 논의의 대상이 아니고, x가 a와 다르지만 가까울 때만 논의한다. 수열에서와 유사하게 엄밀하게 정의할 수 있는데, 여기서는 x와의 차이가 $\delta$ 미만이면 $f(x)$와 $L$의 차이가 $\epsilon$미만인 $\delta$가 존재하는 것으로 한다: $\forall \epsilon>0: (\exists \delta>0:(\forall 0<|x-a|<\delta:L-\epsilon<f(x)<L+\epsilon))$
함수가 $x=a$에서 연속이라는 말은 여기서 끊어져 있지 않다는 것으로, 엄밀하게는 x가 a에 가까이 다가갈 때의 양쪽 극한과 $f(a)$가 모두 동일해야 한다: $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$
11. 미분
미분은 수열에서 '이웃한 두 항의 차이'처럼, 함수에서 어떤 점에서의 순간적인 변화율이다. $y=f(x)$에서, 아주 작은(infinitesimal) 변화 $dx$에 대한 y의 변화 $dy$를 구한다고 해서 라이프니츠가 $dy/dx$라고 표기하였다. 표기는 아직도 그대로지만, infinitesimal의 개념은 통용되지 않고, 극한으로 정의해야 한다. 즉, 어떤 점 x와 $x+\Delta x$의 함숫값의 차이를 $\Delta x$로 나눈 값에 대해서, 두 점의 x좌표 차이 $\Delta x$를 0에 근접할 때의 극한값이 미분계수다. $$f'(x)=\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ $\Delta y/\Delta x$를 기울기라고 하면 '순간적인 기울기'로서 주어진 점에서의 접선의 기울기로 정의하기도 한다.
함수의 값이 극대(local maximum)나 극소(local minimum)라 함은 주어진 점을 포함하는 어떤 닫힌구간에서 최대나 최소라는 것이다. 극대이려면, x 값을 왼쪽 또는 오른쪽으로 아주 조금 움직였을 때 모두 값이 작아져야 한다. 함수와 그 도함수가 연속인 경우에 대해서는, $\Delta x<0$인 경우에는 $(f(x+\Delta x)-f(x))/\Delta x>0$이어야 하고, $\Delta x>0$인 경우에는 $(f(x+\Delta x)-f(x))/\Delta x<0$이어야 해서 결론적으로 $f'(x)=0$이 된다. 이처럼 함수의 증감 양상이나 최대, 최소를 구하려면 $f'(x)$의 부호를 살피는 것이 유용하다. 한편, 변화가 가팔라지는지 또는 완만해지는지의 양상은 볼록, 오목으로 표현하며 $f''(x)$의 부호를 살펴야 한다. 앞서 논의한 극대의 경우에는, $f'(x)$는 처음에는 0 이상이었다가 0을 거쳐서 작아져야 하므로, $f''(x) \leq 0$이 된다.
대수함수의 미분은 미분계수의 정의로부터 유도한다. 삼각함수의 미분은, x가 작을 때에는 호와 현이 근사된다는 내용을 수식으로 표현한 $\lim_{x\rightarrow 0}(\sin x/x)=1$을 이용한다. 지수함수의 미분은 역시 관련된 극한을 이용하여 구할 수 있지만, 그 정의로부터 직관적인 설명이 가능하다. 지수함수는 (이산적인 버전에서) 매번 현재 값의 몇배가 되는 식으로 정의되므로, 연속으로 확장하면 그 도함수가 자기 자신에 비례해야 한다. 그 비례상수는 밑의 자연로그 값임을 알 수 있어서 $d(a^x)/dx=a^x \ln a$이다. 여러 함수가 합성된 경우에는, 매개변수의 작은 변화량과의 관계($dy/dx=(du/dx)\times(dy/du)$)를 이용한다. (물론 '작은 변화량'의 직관은 유용하지만 현대수학에서 인정되는 증명은 아니고, 정확한 증명은 $f(x)=f(a)+(x-a)(f'(a)+\epsilon)$에서 $x\rightarrow a$일 때 $\epsilon\rightarrow0$인 것으로부터 두 변수를 관련지어야 한다.)
12. 적분
적분은 수열에서 '연속된 일부분의 합'처럼, 어떤 구간의 모든 함숫값들의 합 비슷한 것이다. 그런데 함숫값이 무한개여서 더할 수는 없기에, a부터 b까지의 정적분을 구하기 위해서는 a부터 b까지를 n개의 구간으로 쪼개서 $a=x_0, x_1, x_2, ..., x_n=b$의 분점을 잡는다. 그리고 나서, $t_i\in(x_i, x_{i+1})$를 잡아서, 해당 구간을 대표하는 함숫값으로 잡아 그 구간의 너비와 곱해서 더한 리만합 $S:=\sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)f(t_i)$을 생각한다. 구간 중 길이가 최대인 것의 크기가 0에 근접할 때 S의 극한값이 존재하면 그 값을 기호로 $\int_a^{b}f(x)dx$라고 나타낸다. 물론 라이프니츠가 처음 이 기호를 만들 때는 미소(infinitesimal) x의 변화 dx와 f(x)를 곱한 값을 다 더한다는 의미로 했지만, 현대수학에서는 당연히도 통용되지 않으며 리만합의 극한으로 정의해야 한다. 기하학적으로는, 리만합을 구할때 각 구간의 너비와 함숫값을 곱한 양은 직사각형의 넓이에 해당한다. 무한히 세분했을 때 직사각형의 넓이의 합은 곡선 아래의 넓이와 같으므로, 임의의 곡선 아래의 넓이는 정적분으로 정의될 수 있다.
적분은 정의가 미분보다 훨씬 복잡해서 직접 계산하기가 쉽지 않다. 하지만, F의 도함수가 f인 경우에는 f의 정적분과 F를 연관지을 수 있음이 밝혀졌으며 이를 미적분학의 기본 정리라고 한다. $$\frac{d}{dx}\int_a^{x}f(t)dt=F(x),\int_a^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$$ 뒤의 식(제2기본정리)은 앞의 식(제1기본정리)과 위끝과 아래끝이 같을 때에는 적분값이 0이라는 거에서 나온다.
이제 적분값을 구하기 위해서는, 역도함수(antiderivative) 즉 미분해서 주어진 함수가 되는 함수를 구해야 한다. 이를 위해서는 미분공식을 반대로 바꾸어서 하는 것이 가장 기본이다. 하지만 복잡한 함수는 그렇지 못하는 경우가 있다. 이때 사용하는 방법인 치환적분은 일부분을 치환한 후에 치환한 변수와 원래 변수의 작은 변화량 사이의 관계를 맺어 적분하는 것이다. 또한, 부분적분은 $(uv)'=uv'+u'v$(곱의 미분법, 또는 (곱 uv의 작은 변화량) = u * (u 고정시 v의 작은 변화량) + (v 고정시 u의 작은 변화량) * v)의 적분형인 $\int udv=uv-\int vdu$를 이용한다. 여기서 적분 기호는 부정적분으로, 부정적분이란 모든 역도함수를 모아놓은 집합이다.
13. 확률
확률론의 시작은 경우의 수를 세는 것이다. n개의 물체 중 r개를 택하여 일렬로 내려놓는 경우의 수 $n!/(n-r)!$에서, 순서를 상관하지 않으면 $r!$번씩 중복된 셈이므로 $\binom nr=\frac{n!}{r!(n-r)!}$의 공식이 얻어진다. 또한, 중복을 허용하여 택할 때에는, 각 원소를 수 1, 2, 3, ..., n에 대응시킨 후에 i번째 수에는 i-1을 더한다고 생각하면 1, 2, 3, ..., n+r-1 중에 r개를 택하는 것과 같다: $_nH_r=\binom {n+r-1}{r}$ 이를 바탕으로 하면, 근원사건이 일어날 확률이 모두 같을 때 확률을 계산할 수가 있다.
어떤 사건 A가 이미 일어났을 때, B가 일어날 확률을 구하는 것도 필요하다. 이는 경우의 수로 표현하면, A와 B가 모두 일어나는 경우의 수를 A가 일어나는 경우의 수로 나눠야 해서 $P(B|A)=|A\cap B|/|A|=P(A\cap B)/P(A)$가 된다. $P(B|A)$와 $P(A|B)$를 혼동하는 것에서 많은 오류가 일어난다. 예를 들어서, 어떤 사람이 바이러스 검사를 하기 이전에 바이러스에 걸렸을 확률이 1%라고 하자. 그리고 바이러스 검사는 양성을 음성으로 잘못 판단할 확률이 1%, 음성을 양성으로 잘못 판단할 확률이 5%라고 하자. 어떤 사람이 양성이 나왔다면, 바이러스 검사가 확률로 보아 정확하므로 높은 확률로 자신이 감염됐을 거라 생각할 수 있다. 그러나 실제로는 검사에서 양성인 사건을 A, 실제 양성인 사건을 B라고 하면, $P(B|A)=P(A\cap B)/P(A)=(0.01\times0.99)/(0.01\times0.99+0.99\times0.05)=1/6$에 불과하다. 원래 바이러스에 감염됐을 확률이 워낙 낮기 때문에, 음성이지만 잘못 판단되었을 확률이 상당한 것이다. 이처럼 조건부 확률의 개념을 사용하여 통계자료를 신중하게 해석해야 한다.
14. 통계
어떤 사건에 실수를 대응시킨 확률변수 X를 고려할 수 있으며, 이때 X가 특정 값을 가지는 확률을 모든 값에 대해 논의하여 확률분포를 정의할 수 있다. 이산적인 확률분포의 확률질량함수의 정의는 자명하다. 연속적인 확률분포에서는, X가 정확하게 a일 확률은 (a를 포함하는 아무리 작은 구간에도 무수히 많은 실수가 있으므로) 0이며, 어떤 구간 [a, b]의 값을 가질 확률을 $\int _{a}^{b}P(x)dx$가 되도록 하는 확률밀도함수를 정의해야 한다.
많은 자연현상에 대응되는 변수는 정규분포를 따른다. 이항분포는 다음과 같이 치환적분으로 적분을 변환하여, 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z\sim N(0, 1)$에 대한 값으로 확률을 바꿀 수 있다. $$P(a\leq x\leq b)=\int _a^{b}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{x-m}{\sigma}\right)^2\right)=\int _{(a-m)/\sigma}^{(b-m)/\sigma}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-z^2/2)dz=P(\frac{a-m}{\sigma}\leq Z\leq\frac{b-m}{\sigma})$$ 여기서 $z=(x-m)/\sigma, dz=dx/\sigma$로 치환하였다. 이항분포는 n이 충분히 클 때 정규분포에 가까워진다는 사실을 이용하면, 이항분포의 이산적인 함수 대신에 위 함수의 적분(적분은 초등함수가 아니지만, 표준정규분포로 바꾸면 표준정규분포표의 값을 읽을 수 있음)으로 쉽게 구할 수 있다.
크기 n인 표본을 추출하여 모평균 m에 대한 통계적인 추정을 할 때, 기존의 표준편차(표본의 표준편차로 근사가능)가 $\sigma$일 때 표본평균의 분포는 $N(m, \sigma/\sqrt{n})$임을 이용한다. 표본평균이 $\overline{X}$로 주어진 경우, 아직 모르는 m의 확률분포 역시 $N( \overline{X}, \sigma/\sqrt{n})$이므로, 어떤 구간에 대해 표본평균이 그 구간안에 있을 확률(신뢰도)을 계산할 수 있다. 모비율의 추정은 1과 0으로 이루어져 있을 때의 모평균의 추정과 유사하게 볼 수 있다.
15. 벡터와 입체기하
3차원 또는 그 이상의 기하를 다루는데 필수적인 도구는 벡터이다. 벡터는 방향과 크기를 가지지만 시점은 정해져 있지 않으므로, 방향과 크기가 같으면 같은 벡터다. 벡터를 각 좌표축에 수직인 성분으로 분해하면 유용하다. x, y, z축 성분을 각각 순서쌍의 1, 2, 3번째 값에 넣으면, 공간벡터는 $ \overrightarrow{v}=<x, y, z>$로 표현할 수 있다.
벡터의 스칼라곱(내적)은 임의의 차원에서 정의되며, 각 성분을 곱한 후 다 더한 것이다. $\overrightarrow{v_1}=<x_1, y_1, z_1>, \overrightarrow{v_2}=<x_2, y_2, z_2>$에 대해 $\overrightarrow{v_1}\cdot\overrightarrow{v_2}=x_1 x_2+y_1y_2+z_1z_2$이다. 그 기하학적 의미는 서로 평행인 성분 끼리만 곱한 것이다. 즉, 두 벡터가 이루는 각을 $\theta$라고 할 때 $ \overrightarrow{v_2}$의 $ \overrightarrow{v_1}$ 위로의 정사영( $\overrightarrow{v_1} $과 반대방향이면 음수)은 $ |\overrightarrow{v_2}|\cos\theta $ 이므로, $\overrightarrow{v_1}\cdot\overrightarrow{v_2}=|\overrightarrow{v_1}||\overrightarrow{v_2}|\cos\theta$이다. 벡터곱(외적)은 3차원에서만 정의되며, 수직인 성분 끼리만 곱하고($|\overrightarrow{v_1}\times\overrightarrow{v_2}|=|\overrightarrow{v_1}||\overrightarrow{v_2}|\sin\theta$) 방향은 오른손 규칙으로 정한 것이다.
입체기하에서는 공간벡터의 내적과 외적을 적절히 이용하여 넓이, 각도 등을 계산할 수 있다. 또한 논증적으로는 삼수선의 정리가 자주 사용되는데, 이는 일반화하면 직선 l와 세 점 A, B, C에 대해 AB, BC, CA 중 두개가 l과 수직이면 나머지 하나도 l과 수직이라는 것으로 벡터방정식 $\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{CA}=0$으로 요약된다($ \overrightarrow{v}$는 l의 방향벡터).
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