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IMO TST를 앞두고 네겐트로피(negentropy)를 먹지 않으면엔트로피(entropy)는 자꾸만 커져간다네겐트로피를 다시금 열심히 먹기를 바란다 제65회 국제수학올림피아드 대표선발최종시험 64시간 전,커다란 착각에 빠져버린 나에게.
Derivation of Fourier Series Based on Discrete Fourier Transform Fourier Series is a very useful tool in mathematics for analyzing functions, expressing an arbitrary continuous function as infinite sum of trigonometric functions. Fourier Series is derived on the basis of norm and orthogonality of functions, and an abstract algebraic description that the trigonometric series form an orthonormal basis. However, these concepts are not easy to understand at the e..
선형 동차 점화식과 미분방정식 선형 동차 점화식과 선형 동차 미분방정식의 풀이 방법은 매우 유사하다. 그런데 이 둘을 같이 다루고 있는 초보 수준의 자료가 많지 않아서, 한번 정리해 보기로 했다. 해 공간의 특징 선형 동차 점화식은, 아래 조건을 만족하는 복소수 수열 $\left \{a_n \right \}$을 구하는 문제이다. $$a_n =c_1 a_{n-1}+c_2 a_{n-2}+...+c_k a_{n-k} (n\geq k+1)$$ 선형 동차 미분방정식은, 아래 조건을 만족하는 복소수 범위에서 무한번 미분가능한 $\mathbb{R}$에서 $\mathbb{C}$로 가는 함수 $y=f(x)$를 구하는 문제이다. $$y=c_1 y'+c_2 y''+...+c_k y^{(k)}$$ 두 문제의 해의 특성은 매우 유사하다. 0은 자명한 해이고..
자연수의 세제곱의 합 공식 증명 잘 알려진 다음 공식을 증명하는 몇 가지 방법을 소개하려고 한다. $$\sum _{k=1}^nk^3=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$$ 세 번째 방법이 매우 간단하면서도 독창적인 것 같아서 읽어볼 것을 권하고 싶다. 네제곱의 차를 이용하는 방법 가장 정석적인 증명 방법일 것이다. 먼저, 다음 식에서 자연수의 제곱의 합에 대한 공식부터 얻는다. $$(n+1)^3-1=\sum_{k=1}^{n}((k+1)^3-k^3)=3\sum_{k=1}^n k^2+3\sum_{k=1}^n k+n$$ 연속한 자연수의 합 공식을 사용한 후에 정리하면 $$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{3}\left \{ (n^3+3n^2+3n)-\frac{3}{2}n(n+1) -n \right \..
기초 수학 내용 요약본 이 글에서는 고등학교 수학의 전 과정에 대한 내용을 요약하고자 한다. 비록 고등학교 수학의 전체 내용에 대해 깊게 이해하지 못한 상태이지만, 그래도 충분히 교과서적이지 않은 설명을 보태고 싶거나 헷갈릴 만한 내용들을 적어두고 싶은 부분들이 있어서 다른 학생들에게 도움이 되기를 바라는 마음으로 매우 간결하게 쓴다. 크게 15개의 주제로 나누었다. 1. 논리, 집합, 함수 수학의 논리체계는 미지수의 값에 따라 참/거짓이 달라지는 조건들 간의 연산으로 이루어진다. 중요한 연산은 AND, OR, NOT이며, 각각 진리집합의 교집합, 합집합, 여집합에 대응한다. 예를 들어서, NOT (p AND q)는 p 또는 q 중에서 하나라도 거짓이면 참이므로 (NOT p) OR (NOT q)와 같은데, 여기에 대응하는 집합..
내용 요약본 카테고리에 대하여 공부하다보면 기초적인 내용도 교과서에서는 볼 수 없는 새로운 관점에서 바라보게 될 때가 있는데, 이러한 관점이 때로는 문제풀이는 물론 학문에 대한 이해에 매우 유용하기도 하다. 그래서 이러한 관점들을 혼자만 가지고 있지 말고, 다른 사람들과 적극적으로 공유하고 싶다는 생각이 자주 들었다. 이것은 내가 블로그를 만든 가장 큰 이유이다. TNB Frame에 대해 나만의 방식으로 정리해보고, mixtilinear circle의 성질을 다른 문제와 관련지어 설명하는 등의 여러 글들을 써 왔다. 하지만 이렇게 하는 것은 두 가지 문제가 있었다: (1) 체계적이지 않다. (2) 매우 기본적인 내용에 대한 설명을 하지 않는다. 미적분학 II에 나오는 TNB Frame을 공부하면서 얻게 된 교과서에 나오지 않는 직관적..
로또 복권 당첨 확률 로또 복권의 당첨확률을 등수별로 구해보려고 한다. 이는 매우 초보적인 조합론 문제로, 확률을 처음 배울 때 나오는 예제 정도라 하겠다. 그래도 맨날 어려운 거만 하면 힘드니까 한번 정리해 보기로 했다. 1장 구매했을 때 당첨 확률 ($P_i$) 로또 규칙을 간단하게 설명하자면, 1부터 45까지의 자연수 중에서 구매자는 서로 다른 6개를 고른다. 로또를 추첨할 때는 서로 다른 '당첨번호' 6개를 먼저 고르고, 또 다른 하나를 골라서 '보너스 번호'라고 한다. 구매자가 고른 6개 중 6, 5, 4, 3개가 당첨번호와 일치하면 각각 1, 3, 4, 5등이다. 단, 5개가 일치하고 나머지 하나는 보너스 번호와 같으면 2등이다. 등수별 당첨 확률은 다음과 같이 계산할 수 있다. - 1등: 모든 조합 중에서 1등은..
N종류의 쿠폰을 모두 모으기 위한 뽑기 횟수의 기댓값 뽑기를 할 때마다 N종류의 쿠폰 가운데 하나가 무작위로 나오고, N종류의 쿠폰을 모두 모으면 상품을 주는 복권이 있다. N종류의 쿠폰을 모두 한 장 이상씩 모으기 위해서는 뽑기를 평균적으로 몇 번 해야 할까? 이는 매우 초보적인 조합론 문제이지만, 풀이 과정을 정리해 보려고 한다. 현재 가지고 있는 서로 다른 쿠폰의 개수를 X라고 하자. 초기에 $X=0$이고, $X=N$까지 가는 데의 뽑기 횟수 기댓값을 구해야 한다. 이는 $X=k$에서 $X=k+1$까지 가는 데의 기댓값 $E_k$을 모든 $0\leq k\leq N-1$에 대해 더하면 된다. 이제 $E_k$를 계산하자. $X=k$이므로 하나를 뽑았을 때 아직 뽑지 않은 쿠폰일 확률은 $(N-k)/N$이다. 그러면 왠지 직감적으로 이걸 뽑기 위해서는 확률..

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