자연수의 세제곱의 합 공식 증명

잘 알려진 다음 공식을 증명하는 몇 가지 방법을 소개하려고 한다. $$\sum _{k=1}^nk^3=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$$ 세 번째 방법이 매우 간단하면서도 독창적인 것 같아서 읽어볼 것을 권하고 싶다.

네제곱의 차를 이용하는 방법

가장 정석적인 증명 방법일 것이다. 먼저, 다음 식에서 자연수의 제곱의 합에 대한 공식부터 얻는다. $$(n+1)^3-1=\sum_{k=1}^{n}((k+1)^3-k^3)=3\sum_{k=1}^n k^2+3\sum_{k=1}^n k+n$$ 연속한 자연수의 합 공식을 사용한 후에 정리하면 $$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{3}\left \{ (n^3+3n^2+3n)-\frac{3}{2}n(n+1) -n \right \}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 똑같은 방법으로 자연수의 세제곱의 합에 대한 공식을 얻을 수 있다. $$(n+1)^4-1=\sum_{k=1}^{n}\left \{ (k+1)^4-k^4 \right \}=4\sum_{k=1}^{n}k^3+6\sum_{k=1}^{n}k^2+4\sum_{k=1}^{n}k+n$$ $$\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{1}{4}\left \{ n^4+4n^3+6n^2+4n-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1) \right \}=\frac{1}{4}(n^4+2n^3+n^2)=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$$

이항 계수를 이용하는 방법

이항 계수에 대해 조합적으로 증명하는 하키 스틱 정리를 이용하는 방법이다. $k^3$을 이항 계수들의 선형 조합으로 나타낸 다음에 하키 스틱 정리를 쓰면 된다. $$\sum_{k=1}^{n}k^3=\sum_{k=1}^{n}\left \{ 6\binom k3+6\binom k2+\binom k1 \right \}=6\binom{n+1}{4}+6\binom{n+1}{3}+\binom{n+1}{2}=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$$

제곱식의 전개를 이용하는 방법

증명하려는 식은 $$\sum _{k=1}^nk^3=\left (\sum _{k=1}^n k\right )^2$$와 동치임을 이용하자. 우변을 전개할 때에는, $(1+2+...+n)(1+2+...+n)$에서 각 항에서 하나씩 뽑아서 곱한 형태가 된다. 둘 중 더 큰 거를 기준으로 정리를 한다고 생각해보자. 곱한 두 개 중에서 더 큰 것이 n이려면, 둘다 n을 택하는 경우에는 $n\times n$이고, 왼쪽과 오른쪽에서 n을 택하는 경우에는 각각 $n\left \{ 1+2+...+(n-1) \right \}=n\times n(n-1)/2$이다. 그러므로 이에 대한 항의 합은 총 $2(n\times n(n-1)/2)+n\times n=n^3$이다. 마찬가지로, 둘 중 더 큰 것이 j이려면 $2(j\times j(j-1)/2)+j\times j=j^3$이 된다. 둘 중 더 큰 것이 1, 2, 3, ..., n일 때까지 다 더하면 우변과 같은데, 그 값이 $1^3+2^3+...+n^3$과도 같으므로 증명되었다. 수식으로 쓰면 다음과 같다. $$\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2=\left ( 1+2+...+n \right )^2=\sum_{k=1}^{n}\left \{ k^2+2k(1+2+...+(k-1)) \right \}=\sum_{k=1}^{n} k^3$$ 나는 처음 이 공식을 배울 때부터 제곱되는 항이 왜 연속된 자연수의 합 공식과 같은지 궁금했었는데, 이 증명 방법을 통해 그 이유가 명쾌해졌다!