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Math

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Derivation of Fourier Series Based on Discrete Fourier Transform Fourier Series is a very useful tool in mathematics for analyzing functions, expressing an arbitrary continuous function as infinite sum of trigonometric functions. Fourier Series is derived on the basis of norm and orthogonality of functions, and an abstract algebraic description that the trigonometric series form an orthonormal basis. However, these concepts are not easy to understand at the e..
선형 동차 점화식과 미분방정식 선형 동차 점화식과 선형 동차 미분방정식의 풀이 방법은 매우 유사하다. 그런데 이 둘을 같이 다루고 있는 초보 수준의 자료가 많지 않아서, 한번 정리해 보기로 했다. 해 공간의 특징 선형 동차 점화식은, 아래 조건을 만족하는 복소수 수열 $\left \{a_n \right \}$을 구하는 문제이다. $$a_n =c_1 a_{n-1}+c_2 a_{n-2}+...+c_k a_{n-k} (n\geq k+1)$$ 선형 동차 미분방정식은, 아래 조건을 만족하는 복소수 범위에서 무한번 미분가능한 $\mathbb{R}$에서 $\mathbb{C}$로 가는 함수 $y=f(x)$를 구하는 문제이다. $$y=c_1 y'+c_2 y''+...+c_k y^{(k)}$$ 두 문제의 해의 특성은 매우 유사하다. 0은 자명한 해이고..
자연수의 세제곱의 합 공식 증명 잘 알려진 다음 공식을 증명하는 몇 가지 방법을 소개하려고 한다. $$\sum _{k=1}^nk^3=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$$ 세 번째 방법이 매우 간단하면서도 독창적인 것 같아서 읽어볼 것을 권하고 싶다. 네제곱의 차를 이용하는 방법 가장 정석적인 증명 방법일 것이다. 먼저, 다음 식에서 자연수의 제곱의 합에 대한 공식부터 얻는다. $$(n+1)^3-1=\sum_{k=1}^{n}((k+1)^3-k^3)=3\sum_{k=1}^n k^2+3\sum_{k=1}^n k+n$$ 연속한 자연수의 합 공식을 사용한 후에 정리하면 $$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{3}\left \{ (n^3+3n^2+3n)-\frac{3}{2}n(n+1) -n \right \..
로또 복권 당첨 확률 로또 복권의 당첨확률을 등수별로 구해보려고 한다. 이는 매우 초보적인 조합론 문제로, 확률을 처음 배울 때 나오는 예제 정도라 하겠다. 그래도 맨날 어려운 거만 하면 힘드니까 한번 정리해 보기로 했다. 1장 구매했을 때 당첨 확률 ($P_i$) 로또 규칙을 간단하게 설명하자면, 1부터 45까지의 자연수 중에서 구매자는 서로 다른 6개를 고른다. 로또를 추첨할 때는 서로 다른 '당첨번호' 6개를 먼저 고르고, 또 다른 하나를 골라서 '보너스 번호'라고 한다. 구매자가 고른 6개 중 6, 5, 4, 3개가 당첨번호와 일치하면 각각 1, 3, 4, 5등이다. 단, 5개가 일치하고 나머지 하나는 보너스 번호와 같으면 2등이다. 등수별 당첨 확률은 다음과 같이 계산할 수 있다. - 1등: 모든 조합 중에서 1등은..
N종류의 쿠폰을 모두 모으기 위한 뽑기 횟수의 기댓값 뽑기를 할 때마다 N종류의 쿠폰 가운데 하나가 무작위로 나오고, N종류의 쿠폰을 모두 모으면 상품을 주는 복권이 있다. N종류의 쿠폰을 모두 한 장 이상씩 모으기 위해서는 뽑기를 평균적으로 몇 번 해야 할까? 이는 매우 초보적인 조합론 문제이지만, 풀이 과정을 정리해 보려고 한다. 현재 가지고 있는 서로 다른 쿠폰의 개수를 X라고 하자. 초기에 $X=0$이고, $X=N$까지 가는 데의 뽑기 횟수 기댓값을 구해야 한다. 이는 $X=k$에서 $X=k+1$까지 가는 데의 기댓값 $E_k$을 모든 $0\leq k\leq N-1$에 대해 더하면 된다. 이제 $E_k$를 계산하자. $X=k$이므로 하나를 뽑았을 때 아직 뽑지 않은 쿠폰일 확률은 $(N-k)/N$이다. 그러면 왠지 직감적으로 이걸 뽑기 위해서는 확률..
3차원에서의 곡선을 기술하는 TNB Frame Thomas' Calculus 12장에 나오는 TNB Frame 관련 내용이 매우 흥미로우면서도 헷갈리는 부분이 있어서, 정리해 두고자 글을 쓰게 되었다. 벡터 미적분학의 기초 Thomas' Calculus의 1장부터 11장까지는 정의역이 실수이고 공역도 실수인 함수 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$을 다루었다면, 12장에서는 함숫값이 공간벡터인 함수 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$를 다룬다. 여기서 함수에 입력되는 값이 시간이고, 함숫값이 점의 위치벡터이면, 그 점의 움직임을 표현할 수 있게 된다. 즉, 10장에서 다룬 매개변수 방정식을 함수 형태로 표현한 것이라 하겠다. 함수 $$\overrightarrow{r}(t)=f(t)\..
2006 IMOSL G10과 Rotating Calipers 알고리즘 2차원 평면 상에서 가장 먼 두 점을 구하는 알고리즘으로는 Rotating Calipers가 잘 알려져 있다. 이는 볼록 껍질 상에서 한 점 A를 고정한 채로, 거리가 최대가 되도록 다른 점 B를 움직이는 과정을, A를 한 칸씩 움직이면서 반복하는 것이다. 즉 투 포인터 알고리즘이라고 할 수 있다. 그런데 나는 투 포인터를 사용할 때면 실수를 굉장히 많이 하는 편이다. 왜냐하면 어떤 점을 먼저 이동해야 하는지를 거리의 대소에 따라 경우를 잘 나누어 주어야 하기 때문이다. 그런데 수학 올림피아드 문제를 풀다가 우연히 Rotating Calipers 알고리즘을 병합 정렬의 관점에서 생각하며, 또 그 결과를 보다 직관적으로 하나의 도형으로 표현하는 방법을 알게 되었다. *주의: 글 중간에 넣어놓은 영어로 된 ..
2024 대학수학능력시험 수학영역 풀이 목요일에 기숙사에 일찍 들어왔는데 딱히 할 게 없어서 재미삼아 수능 수학 문제를 풀어보기로 했다. 금방 풀 수 있을 것이라고 예상했으나, 실제로 미적분이나 기하는 올림피아드와 범위가 달라 개념이 익숙치 않고 문제와 직관을 곧바로 연결짓지 못하여 매우 오래 걸렸다. 46문제를 모두 푸는 데 150분 정도 걸렸던 것 같고, 조금 부끄럽지만 이중 절반 이상이 미적분과 기하에 쓰였다. 아직 고1이라 미적분과 기하를 충분히 연습하지 않았기에 당연한 결과다. 채점 결과는 미적분 30번에서 엉뚱한 실수로 틀렸는데 실제 수능이었으면 굉장히 아쉬웠을 것이다. 어차피 영재학교는 수능과는 무관하므로 결과는 상관없고 문제의 핵심 아이디어를 막힘없이 떠올렸다는 것이 중요한 것 같다. 수능 문제 풀이를 간단히 적어보려고 한다. ..

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