3차원에서의 곡선을 기술하는 TNB Frame

Thomas' Calculus 12장에 나오는 TNB Frame 관련 내용이 매우 흥미로우면서도 헷갈리는 부분이 있어서, 정리해 두고자 글을 쓰게 되었다.

 

벡터 미적분학의 기초

Thomas' Calculus의 1장부터 11장까지는 정의역이 실수이고 공역도 실수인 함수 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$을 다루었다면, 12장에서는 함숫값이 공간벡터인 함수 $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{3}$를 다룬다. 여기서 함수에 입력되는 값이 시간이고, 함숫값이 점의 위치벡터이면, 그 점의 움직임을 표현할 수 있게 된다. 즉, 10장에서 다룬 매개변수 방정식을 함수 형태로 표현한 것이라 하겠다. 함수

$$\overrightarrow{r}(t)=f(t)\hat{i}+g(t)\hat{j}+h(t)\hat{k}$$

에서, 극한은 다음과 같이 정의한다.

$$\lim_{t->t_0}\overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{L} \Leftrightarrow \forall\epsilon>0: (\exists\delta>0:(0<|t-t_0|<\delta\Rightarrow|\overrightarrow{r}(t)-\overrightarrow{L}|<\epsilon))$$

실숫값 함수와 마찬가지로, $\lim_{t\rightarrow t_0}\overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{r}(t_0)$이면 이 함수가 $t=t_0$에서 연속이라고 한다.

미분계수 역시 실숫값 함수와 유사하게 정의하는데, 극한의 성질을 이용하여 분석해 보면 각 성분에 대한 함수 f, g, h가 미분계수를 가져야만 미분가능함을 알 수 있다.

$$f'(t)=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\overrightarrow{r}(t+\Delta t)-\overrightarrow{r}(t)}{\Delta t}=\frac{df}{dt}\hat{i}+\frac{dg}{dt}\hat{j}+\frac{dh}{dt}\hat{k}$$

 

움직임의 성질

이 글에서 다룰 곡선은 부드러운(smooth) 곡선으로, 다음 조건을 만족할 때 부드럽다고 한다: $d\overrightarrow{r}/dt$가 모든 점에 대해 존재하고 연속이며 절대로 영벡터가 아니다. t에 대한 순간변화율이 0인 것을 허용하면, 오랫동안 멈추어 있다가 방향을 바꿈으로써 곡선의 모양은 꺾여 있을 수가 있는데, 이러한 상황은 배제하기 위해서 위와 같이 부드러움을 정의한다.

곡선에서 가장 직관적이고 구하기 쉬운 성질은, 물리학에서도 자주 나오는 속도(velocity) $\overrightarrow{v}$, 가속도(acceleration) $\overrightarrow{a}$, 가가속도(jerk) $\overrightarrow{j}$이다.

$$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}, \overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}, \overrightarrow{j}=\frac{d\overrightarrow{a}}{dt}=\frac{d^3\overrightarrow{r}}{dt^3}$$

하지만 위의 변수들은 t를 시간으로 간주할 때 움직임의 성질을 나타낸 것이다. 곡선 자체의 성질을 파악하기에는 무리가 있다. 이를 위해서 매개변수인 이동 거리 s를 도입하여 여러 성질을 관찰하고자 한다.

$$s(t)=\int_{0}^{t}|\overrightarrow{v}(\tau)|d\tau=\int_{0}^{t}\sqrt{{\left(\frac{df}{dt}\right)}^{2}+{\left(\frac{dg}{dt}\right)}^{2}+{\left(\frac{dh}{dt}\right)}^{2}}d\tau, \frac{ds}{dt}=|\overrightarrow{v}|$$

 

T, N, B 단위벡터와 그 물리적 의미

앞서 언급했듯이, 곡선 자체의 성질을 파악하기 위해서는 t보다는 s가 알맞은 변수이다. 속도에 $dt/ds=1/|\overrightarrow{v}|$를 곱한 값을 다음과 같이 단위접선벡터(unit tangent vector) $\overrightarrow{T}$로 정의한다.

$$\overrightarrow{T}=\frac{d\overrightarrow{r}}{ds}=\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}$$

$\overrightarrow{T}$의 물리적 의미는, 말 그대로 '나아가는 방향'이다. 속도를 그 크기로 나누었으므로, 속도의 크기를 배제하고 방향만을 나타낸 것이다.

이제 단위접선벡터의 변화를 생각하자. 단위접선벡터의 거리에 대한 변화는, 다음과 같이 곡률(curvature)이라고 불리는 크기 $\kappa$와 주단위법선벡터(principal unit normal vector) $\overrightarrow{N}$이라고 불리는 방향을 나누어서 표기한다.

$$\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}=\kappa\overrightarrow{N}(\kappa\geq0, |\overrightarrow{N}|=1)$$

$\overrightarrow{N}$의 물리적 의미는, '방향 $\overrightarrow{T}$가 변화하는 정도'이다. 가장 간단한 원운동을 예로 들자면, $\overrightarrow{N}$은 항상 운동 방향의 변화인 구심 방향이다. 미적분학의 연쇄 법칙을 이용하면 다음을 얻을 수 있다.

$$\overrightarrow{N}=\frac{d\overrightarrow{T}/ds}{|d\overrightarrow{T}/ds|}=\frac{d\overrightarrow{T}/dt}{|d\overrightarrow{T}/dt|}$$

수학적인 엄밀성이 매우 떨어지기는 하지만, 충분히 작은 변화 dt 또는 ds에 상응하는 $\overrightarrow{T}$의 미분(differential) $d\overrightarrow{T}$에 대해 $\overrightarrow{N}=d\overrightarrow{T}/|d\overrightarrow{T}|$라고 적으면 주단위법선벡터의 의미가 더욱 분명하게 드러난다.

$\overrightarrow{T}$는 크기가 일정하므로, 항상 그 미분과 수직이다.(원운동에서 속력이 변하지 않으므로, 가속도는 속도와 수직임을 상기하라.) 이를 수학적으로 증명하자면,

$$0=\frac{d}{ds}\left(\overrightarrow{T}\cdot\overrightarrow{T} \right )=2\overrightarrow{T}\cdot \frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\Rightarrow\overrightarrow{T}\perp \frac{d\overrightarrow{T}}{ds}$$

$\overrightarrow{T}$의 미분의 방향이 $\overrightarrow{N}$ 이므로, $ \overrightarrow{T}\perp \overrightarrow{N} $이다. 그러므로 두 벡터 $\overrightarrow{T}$와 $\overrightarrow{N}$에 모두 수직인 새로운 이중수직벡터(binormal vector) $\overrightarrow{B}$를

$$\overrightarrow{B}=\overrightarrow{T}\times\overrightarrow{N}$$

로 정의하면, 세 벡터, T, N, B는 TNB 좌표계라고 불리는 직교 좌표계를 이룬다. 이 좌표계가 왜 유용한지는 다음에서 다룰 가속도의 성질로부터 알 수 있다.

TNB 좌표계

 

방향의 변화: 가속도, 곡률과 꼬임률

운동의 성질을 분석하는 데에는 가속도가 중요하다. 가속도를 T, N, B 단위벡터로 표현하기 위해, 속도를 크기(속력)와 방향(단위접선벡터)을 나누어 분석하는 것에서 시작한다.

$$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(|\overrightarrow{v}|\overrightarrow{T})=\frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt}\overrightarrow{T}+|\overrightarrow{v}|\frac{d\overrightarrow{T}}{dt}$$

여기서 $d\overrightarrow{T}/dt$는 크기와 방향을 나누어서 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\frac{d\overrightarrow{T}}{dt}=\left|\frac{d\overrightarrow{T}}{dt}\right|\overrightarrow{N}=\left|\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\right|\left|\frac{ds}{dt}\right|\overrightarrow{N}=\kappa|\overrightarrow{v}|\overrightarrow{N}$$

이를 대입하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

$$\overrightarrow{a}=\frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt}\overrightarrow{T}+\kappa|\overrightarrow{v}|^2\overrightarrow{N}$$

이처럼 가속도는 T 성분과 N 성분으로 이루어지며, B 성분은 없다. 자명하게 속도는 T와 평행하다. 결국 $\overrightarrow{T}$ 와 $\overrightarrow{N}$ 로 이루어진 평면은, 운동의 대부분의 요소(속도, 가속도, 힘)들이 위치하는 평면이므로 큰 물리적 의미가 있다. 또한, $\overrightarrow{B}$ 는 이러한 평면의 법선벡터이므로 중요하다.

이제 위의 내용을 토대로 곡률에 대해 조금 더 고찰해 보자. 가속도의 N 성분이 곡률과 관련이 있으므로, 구하기 쉬운 물리량인 가속도와 속도로부터 곡률을 구할 수 있다. 가속도의 N 성분은 속도와 수직인 성분이므로, $| \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|/|\overrightarrow{v}|$로 표현된다. 즉,

$$\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{v}|\overrightarrow{T}\times\left(\frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt}\overrightarrow{T}+\kappa|\overrightarrow{v}|^2\overrightarrow{N} \right )=\kappa|\overrightarrow{v}|^3\overrightarrow{B} \Rightarrow\kappa=\frac{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{v}|^3}$$

마지막으로, $\overrightarrow{B}$ 의 변화를 관찰해 보자. 미분의 시간 dt가 수반하는 단위 벡터들의 변화가 다음과 같다고 하자.

t가 조금 변했으므로, T+dT는 기존의 평면 상에 있다. N은 T와 수직이면서 방향을 바꾸게 된다. B는 T, N을 포함한 평면의 법선벡터이므로, 결국 N의 변화가 B의 변화를 일으키게 된다. 그림으로부터 B의 변화는 N에 평행임을 알 수 있다.

그림과 같이 B의 변화 $d\overrightarrow{B}$는 $\overrightarrow{N}$과 평행함을 알 수 있다. 직관에만 의존하지 않고 다음과 같이 계산하여 확인해 보자.

$$\frac{d\overrightarrow{B}}{ds}=\frac{d(\overrightarrow{T}\times\overrightarrow{N})}{ds}=\frac{d\overrightarrow{T}}{ds}\times\overrightarrow{N}+\overrightarrow{T}\times\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}=\kappa\overrightarrow{N}\times\overrightarrow{N}+\overrightarrow{T}\times\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}=\overrightarrow{T}\times\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}$$

위 식에서, $d\overrightarrow{B}/ds$는 $\overrightarrow{T}$에 수직하다. 또한, $\overrightarrow{B}$는 크기가 일정하므로, 그 미분과 수직하다. 그러므로 $d\overrightarrow{B}/ds$ 는 T 또는 B에 평행한 선분이 없기 때문에 N에 평행하다. 꼬임률(torsion)으로 이와 같은 B의 변화를 나타내는데, 이때 그림과 같이 N과 반대 방향으로 변화했을 때 양수로 놓는다. 따라서 꼬임률 $\tau$를 다음과 같이 정의한다.

$$\frac{d\overrightarrow{B}}{ds}=-\tau\overrightarrow{N}, \tau=-\frac{d\overrightarrow{B}}{ds}\cdot\overrightarrow{N}$$

곡률은 가속도 식에서 알 수 있듯이 방향이 바뀌는 정도, 또는 가속도 중 속도의 크기의 변화가 아닌 방향의 변화에 해당하는 부분을 나타낸다. 꼬임률은 B의 변화, 즉 TN 평면의 변화이므로, 운동이 비틀리는(twist) 정도를 나타낸다고 볼 수 있다.

 

꼬임률 공식

꼬임률 역시 속도, 가속도, 가가속도로부터 구할 수 있다. 꼬임률은 가속도와 관련된 벡터인 $ \overrightarrow{N}$의 변화와도 관련 있으므로 가가속도까지 구해야만 계산할 수 있다. 꼬임률 공식을 유도하고자 한다. 다른 공식들에 비해서 계산 과정이 다소 복잡하여 교과서에는 생략되어 있었지만 스스로 유도해 보았다.

꼬임률의 정의 $\tau=-(d\overrightarrow{B}/ds)\cdot\overrightarrow{N}$이므로, $d\overrightarrow{B}/ds$의 N 성분을 계산하는 것으로 시작한다.

$$\frac{d\overrightarrow{B}}{ds}=\overrightarrow{T}\times\frac{d\overrightarrow{N}}{ds}=\overrightarrow{T}\times \frac{dt}{ds}\times\frac{d}{dt}\left(\frac{d\overrightarrow{T}/dt}{|d\overrightarrow{T}/dt|} \right )$$

t와 관련된 변수들로 $\tau$를 나타내는 것이 목표이므로, 미분하는 변수를 t로 바꾸었다. $|d\overrightarrow{T}/dt|=|d\overrightarrow{T}/ds||ds/dt|=\kappa|\overrightarrow{v}|$를 대입하면,

$$\frac{d\overrightarrow{B}}{ds}=\overrightarrow{T}\times\frac{1}{|\overrightarrow{v}|}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\kappa|\overrightarrow{v}|}\frac{d\overrightarrow{T}}{dt}\right)=\overrightarrow{T}\times\frac{1}{|\overrightarrow{v}|}\left(\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\kappa|\overrightarrow{v}|}\right)\frac{d\overrightarrow{T}}{dt}+\frac{1}{\kappa|\overrightarrow{v}|}\frac{d^2\overrightarrow{T}}{dt^2} \right )$$

그런데 우리는 $d\overrightarrow{B}/ds$의 N 성분을 계산하고 있으므로, 식을 조금 더 간단히 할 수 있다. $d\overrightarrow{B}/ds$가 $\overrightarrow{T}$와 다른 벡터의 외적으로 표현되는데, 외적을 하는 벡터에서 N 성분은 외적하면 N과 수직인 성분만 만들어 내기 때문에 고려할 필요가 없는 것이다. $d\overrightarrow{T}/dt$가 $\overrightarrow{N}$과 평행임을 상기하면, 마지막 식의 괄호 안의 첫 번째 항은 무시해도 됨을 알 수 있다.

$$\frac{d\overrightarrow{B}}{ds}\cdot\overrightarrow{N}=\left(\overrightarrow{T}\times\frac{1}{|\overrightarrow{v}|}\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{\kappa|\overrightarrow{v}|}\right)\kappa|\overrightarrow{v}|\overrightarrow{N} \right )\cdot\overrightarrow{N}+\left(\overrightarrow{T}\times\frac{1}{\kappa|\overrightarrow{v}|^2}\frac{d^2\overrightarrow{T}}{dt^2} \right)\cdot\overrightarrow{N}=\frac{|\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|}\left(\overrightarrow{T}\times\frac{d^2\overrightarrow{T}}{dt^2} \right)\cdot\overrightarrow{N}$$

여기서 마지막에 $\kappa=|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|/|\overrightarrow{v}|^3$를 적용하였다. 이제 $ d^2\overrightarrow{T}/dt^2$를 다음과 같이 계산한다.

$$\frac{d^2\overrightarrow{T}}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{d}{dt}\left(\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|} \right ) \right )=\frac{d}{dt}\left(-\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|^2}\frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt}+\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{v}|}\right )=-\frac{d}{dt}\left(\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|^2}\frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt} \right ) +\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{|\overrightarrow{v}|} \right )\overrightarrow{a}+\frac{1}{|\overrightarrow{v}|}\overrightarrow{j}$$

그런데 구하려는 식을 보면, $ d^2\overrightarrow{T}/dt^2$ 에서 T 성분은 외적에 기여하지 못하며, N 성분은 외적하면 N에 수직해 져서 내적에 기여하지 못한다. 따라서 B 성분만 따지면 충분하다. 그런데 속도와 가속도는 모두 B 성분이 없으므로, 속도, 가속도, 속도와 스칼라의 곱을 한 번 미분한 식들은 무시해도 된다.

$$\left(\overrightarrow{T}\times\frac{d^2\overrightarrow{T}}{dt^2} \right )\cdot\overrightarrow{N}=\left(\overrightarrow{T}\times\frac{1}{|\overrightarrow{v}|}\overrightarrow{j}
 \right )\cdot\overrightarrow{N}$$

이제 구하려는 $\tau$를 매우 간단한 식으로 표현할 수 있게 되었다.

$$\tau=-\frac{|\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|}\left(\overrightarrow{T}\times\frac{d^2\overrightarrow{T}}{dt^2} \right)\cdot\overrightarrow{N}=-\frac{|\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|}\left(\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|}\times\frac{1}{|\overrightarrow{v}|}\overrightarrow{j} \right)\cdot\overrightarrow{N}=-\frac{(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{j})\cdot\overrightarrow{N}}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}||\overrightarrow{v}|}$$

N만 기본적인 변수들로 표현하면 된다.

$$\overrightarrow{N}=\frac{1}{\kappa|\overrightarrow{v}|}\frac{d\overrightarrow{T}}{dt}=\frac{|\overrightarrow{v}|^2}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|}\frac{d}{dt}\left(\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|} \right )=\frac{|\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|}\overrightarrow{a}-\frac{1}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|}\frac{d|\overrightarrow{v}|}{dt}\overrightarrow{v}$$

여기서 $ \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{j}$는 $ \overrightarrow{v} $에 수직이므로 두 번째 항은 고려하지 않아도 된다. 따라서

$$\tau=-\frac{\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{j}}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}||\overrightarrow{v}|}\cdot\overrightarrow{N}=-\frac{\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{j}}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}||\overrightarrow{v}|}\cdot\frac{|\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|}\overrightarrow{a}=-\frac{(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{j})\cdot{\overrightarrow{a}}}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|^2}=\frac{(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a})\cdot{\overrightarrow{j}}}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|^2}$$

이처럼 $ \tau$는 $\overrightarrow{v}, \overrightarrow{a}, \overrightarrow{j}$의 스칼라삼중적(triple scalar product)을 $\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}$의 크기의 제곱으로 나눈 값과 같다. 다시 말해서, 속도 벡터, 가속도 벡터, 가가속도 벡터가 이루는 평행육면체(parallelopiped)의 높이를 밑면의 넓이로 나눈 값과 같다( $|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|$가 밑면의 넓이에 해당하고, 스칼라삼중적은 부피에 해당함을 상기하라). 다소 복잡한 계산을 통해 꼬임률에 대한 보다 직관적인 이해를 얻게 되었다. 마지막으로 계산하기 쉽도록 행렬식으로 다음과 같이 표현할 수도 있다. 여기서 x, y, z는 각각 x, y, z성분의 위치를 t의 함수로 나타낸 것이고, 변수 위의 점은 t로 미분한 횟수이다(Newton식 표기법).

$$\tau=\frac{(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a})\cdot{\overrightarrow{j}}}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|^2}=\frac{\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ 
 \dot{x}& \dot{y} &\dot{z} \\ 
 \ddot{x }& \ddot{y} & \ddot{z}
\end{vmatrix}\cdot{(\dddot{x}, \dddot{y}, \dddot{z})}}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|^2}=\frac{\begin{vmatrix}
 \dot{x}& \dot{y} &\dot{z} \\ 
 \ddot{x }& \ddot{y} & \ddot{z}\\
\dddot{x }& \dddot{y} & \dddot{z}
\end{vmatrix}}{|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{a}|^2}$$