잘 알려진 다음 공식을 증명하는 몇 가지 방법을 소개하려고 한다. 세 번째 방법이 매우 간단하면서도 독창적인 것 같아서 읽어볼 것을 권하고 싶다.
네제곱의 차를 이용하는 방법
가장 정석적인 증명 방법일 것이다. 먼저, 다음 식에서 자연수의 제곱의 합에 대한 공식부터 얻는다. 연속한 자연수의 합 공식을 사용한 후에 정리하면 똑같은 방법으로 자연수의 세제곱의 합에 대한 공식을 얻을 수 있다.
이항 계수를 이용하는 방법
이항 계수에 대해 조합적으로 증명하는 하키 스틱 정리를 이용하는 방법이다. 을 이항 계수들의 선형 조합으로 나타낸 다음에 하키 스틱 정리를 쓰면 된다.
제곱식의 전개를 이용하는 방법
증명하려는 식은 와 동치임을 이용하자. 우변을 전개할 때에는, 에서 각 항에서 하나씩 뽑아서 곱한 형태가 된다. 둘 중 더 큰 거를 기준으로 정리를 한다고 생각해보자. 곱한 두 개 중에서 더 큰 것이 n이려면, 둘다 n을 택하는 경우에는 이고, 왼쪽과 오른쪽에서 n을 택하는 경우에는 각각 이다. 그러므로 이에 대한 항의 합은 총 이다. 마찬가지로, 둘 중 더 큰 것이 j이려면 이 된다. 둘 중 더 큰 것이 1, 2, 3, ..., n일 때까지 다 더하면 우변과 같은데, 그 값이 과도 같으므로 증명되었다. 수식으로 쓰면 다음과 같다. 나는 처음 이 공식을 배울 때부터 제곱되는 항이 왜 연속된 자연수의 합 공식과 같은지 궁금했었는데, 이 증명 방법을 통해 그 이유가 명쾌해졌다!
'Math' 카테고리의 다른 글
Derivation of Fourier Series Based on Discrete Fourier Transform (0) | 2024.03.17 |
---|---|
선형 동차 점화식과 미분방정식 (1) | 2024.02.27 |
로또 복권 당첨 확률 (0) | 2024.02.09 |
N종류의 쿠폰을 모두 모으기 위한 뽑기 횟수의 기댓값 (0) | 2024.02.09 |
3차원에서의 곡선을 기술하는 TNB Frame (0) | 2024.01.08 |