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Math

자연수의 세제곱의 합 공식 증명

잘 알려진 다음 공식을 증명하는 몇 가지 방법을 소개하려고 한다. k=1nk3=(n(n+1)2)2 세 번째 방법이 매우 간단하면서도 독창적인 것 같아서 읽어볼 것을 권하고 싶다.

네제곱의 차를 이용하는 방법

가장 정석적인 증명 방법일 것이다. 먼저, 다음 식에서 자연수의 제곱의 합에 대한 공식부터 얻는다. (n+1)31=k=1n((k+1)3k3)=3k=1nk2+3k=1nk+n 연속한 자연수의 합 공식을 사용한 후에 정리하면 k=1nk2=13{(n3+3n2+3n)32n(n+1)n}=n(n+1)(2n+1)6 똑같은 방법으로 자연수의 세제곱의 합에 대한 공식을 얻을 수 있다. (n+1)41=k=1n{(k+1)4k4}=4k=1nk3+6k=1nk2+4k=1nk+n k=1nk3=14{n4+4n3+6n2+4nn(n+1)(2n+1)2n(n+1)}=14(n4+2n3+n2)=(n(n+1)2)2

이항 계수를 이용하는 방법

이항 계수에 대해 조합적으로 증명하는 하키 스틱 정리를 이용하는 방법이다. k3을 이항 계수들의 선형 조합으로 나타낸 다음에 하키 스틱 정리를 쓰면 된다. k=1nk3=k=1n{6(k3)+6(k2)+(k1)}=6(n+14)+6(n+13)+(n+12)=(n(n+1)2)2

제곱식의 전개를 이용하는 방법

증명하려는 식은 k=1nk3=(k=1nk)2와 동치임을 이용하자. 우변을 전개할 때에는, (1+2+...+n)(1+2+...+n)에서 각 항에서 하나씩 뽑아서 곱한 형태가 된다. 둘 중 더 큰 거를 기준으로 정리를 한다고 생각해보자. 곱한 두 개 중에서 더 큰 것이 n이려면, 둘다 n을 택하는 경우에는 n×n이고, 왼쪽과 오른쪽에서 n을 택하는 경우에는 각각 n{1+2+...+(n1)}=n×n(n1)/2이다. 그러므로 이에 대한 항의 합은 총 2(n×n(n1)/2)+n×n=n3이다. 마찬가지로, 둘 중 더 큰 것이 j이려면 2(j×j(j1)/2)+j×j=j3이 된다. 둘 중 더 큰 것이 1, 2, 3, ..., n일 때까지 다 더하면 우변과 같은데, 그 값이 13+23+...+n3과도 같으므로 증명되었다. 수식으로 쓰면 다음과 같다. (n(n+1)2)2=(1+2+...+n)2=k=1n{k2+2k(1+2+...+(k1))}=k=1nk3 나는 처음 이 공식을 배울 때부터 제곱되는 항이 왜 연속된 자연수의 합 공식과 같은지 궁금했었는데, 이 증명 방법을 통해 그 이유가 명쾌해졌다!