2024 대학수학능력시험 수학영역 풀이

목요일에 기숙사에 일찍 들어왔는데 딱히 할 게 없어서 재미삼아 수능 수학 문제를 풀어보기로 했다. 금방 풀 수 있을 것이라고 예상했으나, 실제로 미적분이나 기하는 올림피아드와 범위가 달라 개념이 익숙치 않고 문제와 직관을 곧바로 연결짓지 못하여 매우 오래 걸렸다. 46문제를 모두 푸는 데 150분 정도 걸렸던 것 같고, 조금 부끄럽지만 이중 절반 이상이 미적분과 기하에 쓰였다. 아직 고1이라 미적분과 기하를 충분히 연습하지 않았기에 당연한 결과다. 채점 결과는 미적분 30번에서 엉뚱한 실수로 틀렸는데 실제 수능이었으면 굉장히 아쉬웠을 것이다. 어차피 영재학교는 수능과는 무관하므로 결과는 상관없고 문제의 핵심 아이디어를 막힘없이 떠올렸다는 것이 중요한 것 같다. 수능 문제 풀이를 간단히 적어보려고 한다. 번호는 홀수형 기준이다.

공통

1번: $\sqrt[3]{24}\times3^\frac{2}{3}=\left ( 2^3\times3 \right )^\frac{1}{3}\times3^\frac{2}{3} = 2\times3=6$

2번: $f'(2)=[6x^2-10x]_{x=2}=4$

3번: $-\theta$는 제1사분면의 각이므로 $\cot^2 (-\theta)=\csc^2 (-\theta)-1=8, |\tan (-\theta)|=\frac{\sqrt{2}}{4}, \tan(-\theta) = \frac{\sqrt{2}}{4}, \tan \theta=-\tan(-\theta)=-\frac{\sqrt{2}}{4}$

4번: $\lim _{x\rightarrow 2-}f(x)=f(2), 3\times2-a=2^2+a, a=1$

5번: $f(2)=f(1)+ \int_{1}^{2}f'(x)dx=6+[x^3-3x^2]_1^2=4$

6번: $a_3+a_4=3a_4$에서 공비는 $\frac{1}{2}$, 반대로 써가면 $a_4=\frac{3}{2}, a_3=3, a_2=6, a_1=12$

7번: $f'(x)=x^2-4x-12=(x+2)(x-6)$에서 -2까지 증가하고 [-2, 6]에서 감소하다가 6부터 증가하므로, $\alpha=-2$에서 극대이고 $\beta=6$에서 극소, 답은 8

8번: 인수분해하면 $(x-1)(f(x)-(3x^3+3x^2+3x))=0$, 1이 아닌 모든 실수에 대해 $f(x)-(3x^3+3x^2+3x)=0$ 인데 영다항식이 아닌 다항식의 근은 유한개이므로 $f(x)\equiv (3x^3+3x^2+3x)$, 기함수 부분은 무시하고 적분하면 $\int_{-2}^{2}3x^2dx=24$

9번: m은 (P~1 거리) / (P~Q 거리)이므로 $m=\frac{1-\log_5 3}{\log_5 12-\log_5 3}=\frac{\frac{\ln5}{\ln5}-\frac{\ln3}{\ln5}}{\frac{\ln12}{\ln5}-\frac{\ln3}{\ln5}}=\frac{\ln\frac{5}{3}}{\ln4}, 4^m=(e^{\ln4})^m=e^{\ln\frac{5}{3}}=\frac{5}{3}$ (로그의 밑을 4로 통일해도 되겠지만, 개인적으로는 아무 걸로나 통일한 뒤 지수의 밑을 그거의 몇 제곱으로 바꾸는게 제일 편하다. 굳이 자연로그일 필요는 없다.)

10번: $v_1-v_2=(t-2)(t-6), \int_{0}^{6}(v_1-v_2)dt=0$에서 a=2, b=6이므로 답은 $v=|2t-7|$ 아래 t=2부터 6까지의 넓이와 같다. 적분하기 귀찮으니 삼각형 넓이 합으로 구하면 $\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times3+\frac{1}{2}\times\frac{5}{2}\times5=\frac{17}{2}$

11번: $A:=a_8=-a_6>0$이라 하면 조건식은 $\frac{1}{6A\times5A}+\frac{1}{5A\times4A}+...+\frac{1}{2A\times A}=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{6} \right )\frac{1}{A^2}=\frac{5}{96}, A=4$, $a_i+a_{14-i}=0(1\leq i\leq 6), a_7=0$이므로 1항부터 13항까지 합은 0이어서 답은 $a_{14}+a_{15}=7A+8A=60$

12번: 문제에서 구하는 값은, t까지는 f 아래 넓이를 구하고, t 이후부터는 $(t, f(t))$를 지나는 기울기 -1인 직선 아래 넓이를 구해 합한 것이다. [0, 6]에서 f는 위로 볼록하므로, $f'(t)>-1$이면 t를 약간 왼쪽으로 옮기면 넓이가 커지며 $f'(t)<-1$이면 t를 약간 오른쪽으로 옮기면 넓이가 커짐을 그림으로 확인할 수 있다. 따라서 $f'(t)=-1, (t-3)(t-7)=0, t=3(\because 0<t<6)$이고, 답은 0부터 3까지 f 아래 넓이 $\int_{0}^{3}\frac{1}{9}x(x-6)(x-9)dx=\frac{1}{9}\left [\frac{1}{4}x^4-5x^3+27x^2  \right ]_0^3=\frac{1}{9}\left(\frac{81}{4}-135+243\right)=\frac{57}{4}$에, 직선 아래 직각이등변삼각형 넓이 $\frac{1}{2}f(3)^2=18$을 더한 $\frac{129}{4}$

13번: 삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의해 $x:=AC, 3^2+x^2-3x=\left(\sqrt{13}\right)^2, x=4$, $2S_1=3\times4\times\sin{\frac{\pi}{3}}=6\sqrt{3}=\frac{6}{5}\times2S_2=\frac{6}{5}\times9\sin\angle ADC, \sin\angle ADC=\frac{5\sqrt{3}}{9}$이고 답은 $\frac{1}{2}\times\frac{2R\sin\angle ADC}{\sin^2\angle ADC}=\frac{1}{2}\times\frac{4}{\left (\frac{5\sqrt{3}}{9} \right )^2}=\frac{54}{25}$

14번: $x<2$에서 $f'(x)=6(x+1)(x-1)$로 그래프는 증가하다가 x=-1에서 5를 찍고, 감소하여 x=1에서 -3을 찍고 다시 x=2에서 5까지 올라간다. $b\leq2$여서 x>2에서 증가하기만 하면 -3과 5 사이의 모든 k가 조건을 만족해서 모순이다. 따라서 $b>2$이고 $x=\frac{b+2}{2}$에서 극솟값 m을 갖는다. $m\neq -3$이면 m과 -3 사이에 모든 실수가 조건을 만족시켜서 모순이다. $m=-3$이면 $k=-3$일 때 $1+3+5=9$로 조건을 만족시켜서 된다. 따라서 $m=-a\left ( \frac{b-2}{2} \right )^2+9=-3, a(b-2)^2=48$이고, $a+b=a+\sqrt{\frac{48}{a}}+2$가 최대일 때는 a=1로 답은 51이다.

15번: 자연수 전체의 집합을 정점 집합, a 다음항이 b이면 b->a 간선이 있는 방향그래프 G를 생각하자. $a_6=2$ 또는 $a_6=1$이므로 문제는 2 또는 1에서 출발해 5번만에 다다를 수 있는 모든 정점의 합을 구하면 된다. 그런데 2와 1은 서로 cycle을 이루고, 2에서 바깥으로 간선이 나가므로 결국 2에서 5번 이내에 다다르면 된다. 그래프를 열심히 그려보면 $2 \rightarrow 1, 4 \rightarrow 8 \rightarrow 3, 16 \rightarrow 6, 32 \rightarrow 12, 5, 64$로, 답은 1+2+...+64=127에 3, 6, 12, 5를 더해 153이다.

16번: $3^{x-8}=3^{-3x}, x-8=-3x, x=2$

17번: $f'(x)=(x^2+3)+2x(x+1), f'(1)=10$

18번: $\sum_{k=1}^{10}a_k=:A, \sum_{k=1}^{10}b_k=:B$라 하면 $A=2B-10, 3A+B=33 \therefore A=8, B=9$

19번: $\sin\left ( \frac{\pi}{2}+x \right )\sin\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )=\sin^2\left ( \frac{\pi}{2}+x \right )<\frac{1}{4}, \left |\sin\left ( \frac{\pi}{2}+x \right )  \right |<\frac{1}{2}$인데 sin 안에는 $\frac{\pi}{4}$의 배수만 들어가므로 $\pi$의 배수만 가능해서, $x=2,6,10,14$에서 합은 32

20번: $f'(0)=2$에서 원점에서의 접선은 $y=2x$, $A(a, 2a)$ 인데 조건에서 OA와 AB가 수직이므로 $-\frac{1}{2}=f'(a)=2-a^2, a^2=\frac{5}{2}$, 닮음비에서 $AB=2OA$이므로 답은 $2OA^2=2\left ( \sqrt{5}a \right )^2=10a^2=25$

21번: $0\leq t<5$에서 g의 최솟값은 t=0일 때 5이므로, $t\geq5$에서 최솟값이 5 이상이면 된다. a가 증가할수록 $x\geq6$ 부분이 위로 올라가서 최솟값이 증가하므로, 최솟값이 정확히 5일 때 a가 최소이다. $f(t-1)=f(t+1)$일 때 t가 작아져도 커져도 g가 커지게 되어 최소이므로, $f(t-1)=5=f(5)$에서 $t=6$, $f(7)=a\log_42=5, a=10$

22번: f의 근이 1개면 그 근 전후로 정수를 하나씩 잡으면 k가 나와서 안된다. 따라서 f는 세 근을 가지는데, 2 차이나는 어떤 두 정수를 잡아도 부호가 같아야 하므로 가장 큰 근과 가장 작은 근을 포함하는 닫힌구간의 정수 개수는 2 이상이고 이웃한 두 근 사이에는 정수가 없어야 한다. $f'(\frac{1}{4})<0$를 고려해 경우를 잘 생각하면 세 근이 $b<0<1$임을 알 수 있다. $f(x)=x(x-1)(x-b), f'(x)=3x^2-(2b+2)x+b$이고 $f'(-\frac{1}{4})=\frac{3}{16}+\frac{b+1}{2}+b=-\frac{1}{4}, b=-\frac{5}{8}$, 대입하면 $f(8)=8\times7\times\frac{69}{8}=483$

확률과 통계

23번: 같은 것이 있는 순열, $\frac{5!}{2!2!1!}=30$

24번: $1-P(A)=2P(A), P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{3}{4}$

25번: 양 끝에 놓이는 두 카드의 조합을 고르는 $\binom{6}{2}=15$가지만 생각해도 각각에 대해 확률이 균일하여 무방하다. 10 초과인 경우는 5, 6을 고르는 하나뿐이므로 $1-\frac{1}{15}=\frac{14}{15}$

26번: $P(Y=0)=\frac{1}{16}, P(Y=1)=\frac{4}{16}, P(Y=2)=\frac{11}{16}, E(Y)=0\times\frac{1}{16}+1\times\frac{4}{16}+2\times\frac{11}{16}=\frac{13}{8}$

27번: 표본평균은 $N\left (m, \left ( \frac{5}{7} \right )^2 \right )$를 따르므로 신뢰구간의 길이의 절반 $0.1a=1.96\times\frac{5}{7}, a=14$이고 답은 신뢰구간의 중간인 $1.1a=15.4$

28번: 확인한 수가 1: X, 2/3: Y, 4: Z 로 표기할 때, 공이 8개인 경우는 {Y, Y, Y, Y}의 $\left ( \frac{1}{2} \right )^4=\frac{1}{16}$, {X, Y, Y, Z}의 $\frac{4!}{2!}\times\left( \frac{1}{2}\right )^2\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{3}{16}$, {X, X, Z, Z}의 $\frac{4!}{2!2!}\times\left ( \frac{1}{4} \right )^4=\frac{3}{128}$이고, 이중 검은 공이 2개인 경우는 세 번째이므로 구하는 조건부 확률은 $\frac{3}{128}\div\left(\frac{1}{16}+\frac{3}{16}+\frac{3}{128} \right )=\frac{3}{35}$

29번: c를 기준으로 세면, a와 b는 1부터 c까지의 자연수로 각각 c개, d는 c부터 6까지의 자연수로 7-c개다. 따라서 답은 $\sum_{c=1}^{6}c^2(7-c)=7\times91-21^2=196$

30번: 5t가 평균보다 오른쪽이므로 $t\geq\frac{1}{5}$, 확률은 $P(t^2-t\leq X-1\leq t^2+t)=P(t-1\leq Z\leq t+1)$이므로 t가 0에 가까울수록 크다. 따라서 $t=\frac{1}{5}$, $k=P(-0.8\leq Z\leq1.2)=0.288+0.385=0.673$으로 답은 673

미적분

23번: $\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+3x)/x}{\ln(1+5x)/x}=\frac{3}{5}$

24번: t=1에서 $\frac{dx}{dt}=\frac{3t^2}{t^3+1}=\frac{3}{2}, \frac{dy}{dt}=\pi\cos\pi t=-\pi$이므로 $(-\pi)\div\frac{3}{2}=-\frac{2}{3}\pi$

25번: $\frac{1}{g'(f(x))}=f'(x)$이므로 $\ln\left | \frac{f(2)}{f(1)} \right |=\int_{1}^{2}\frac{f'(x)}{f(x)}dx=2\ln2+\ln3-\ln 2=\ln6$인데 f(2) < 0이면 g가 양의 실수 전체의 집합에서 정의됨에 모순이므로 $\ln \frac{f(2)}{f(1)}=\ln6, f(2)=6f(1)=48$

26번: $\int_{\frac{3}{4}\pi}^{\frac{5}{4}\pi}y^2dx=\int_{\frac{3}{4}\pi}^{\frac{5}{4}\pi}(1-2x)\cos x dx=\left [ \sin x-2(x\sin x+\cos x) \right ]_{\frac{3}{4}\pi}^{\frac{5}{4}\pi}=-2\sqrt2\pi-\sqrt2$

27번: 원점과 접점을 잇는 할선과 접선이 일치하므로 $\frac{e^{-x}+e^t}{x}=-e^{-x}=:g=-f$, $(1-\ln g)g=-e^t$로부터 $(-\frac{1}{g}dg)g+(1-\ln g)dg=-e^tdt, \frac{dg}{dt}=\frac{e^t}{\ln g }$ 이다. 주어진 상황에서 $\ln g=\frac{3}{2}, e^t=(\ln g-1)g=\frac{1}{2}e^\frac{3}{2}$ 이므로 대입하면 $\frac{df}{dt}=-\frac{dg}{dt}=-\frac{e^t}{\ln g}=-\frac{1}{2}e^\frac{3}{2}\div\frac{3}{2}=-\frac{1}{3}e\sqrt e$

28번: $g(t)=:\alpha<0$라 하면 $f(k-2\alpha)=f(\alpha)=-4\alpha e^{4\alpha^2}$이고, $0\leq x<k$에서는 양수이면 그 양수 t에 대해서는 $f(x)=t$ 근이 3개 이상이어서 모순이어서 값이 0이다. 따라서 k부터 7까지만 적분하면 되고 이를 $\alpha$ 기준으로 적분하면, $\int_{k}^{7}f(x)dx=\int_{0}^{\frac{k-7}{2}}f(k-2\alpha)(-2d\alpha)=\int_{0}^{\frac{k-7}{2}}8\alpha e^{4\alpha^2}d\alpha=\int_{0}^{(k-7)^2}e^udu=e^{(k-7)^2}-1=e^4-1, k=5(\because k<7)$이 나온다. $\frac{f(9)}{f(8)}=\frac{f(-2)}{f(-3/2)}=\frac{8e^{16}}{6e^9}=\frac{4}{3}e^7$

29번: $\left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \}$의 첫째항을 각각 a, b라 하고, 공비를 각각 r, s라 하자. 첫 번째 조건에서 $\frac{ab}{1-rs}=\frac{a}{1-r}\times\frac{b}{1-s}, \frac{1}{s}+\frac{1}{r}=2$이고, 두 번째 조건에서 $3\frac{a}{1-|r|^2}=7\frac{a}{1-|r|^3}, (|r|-1)(2|r|-1)(2|r|+3)=0, |r|=\frac{1}{2}$이다. $r=\frac{1}{2}$면 첫 번째 조건식이 성립할 수 없으므로 $r=-\frac{1}{2}, s= \frac{1}{4}$, $S=\sum_{n=1}^{\infty}(s^{n-1}+s^{2n+1})=\frac{1}{1-s}+\frac{s^3}{1-s^2}=\frac{81}{60}$으로 답은 162

30번: $h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-f'(a)$의 부호가 a 전후에서 바뀌어야 하므로 $f'$의 증감 양상이 바뀌어야 한다. 주어진 $f'$의 그래프는 $f'(x)=(-1)^{\left \lfloor x/\pi \right \rfloor}\times\frac{1}{2}\sin{2x}$로부터 쉽게 그릴 수 있다. 극점은 $a_1=\frac{\pi}{4}, a_2=\frac{3\pi}{4}, a_3=\pi, a_4=\frac{5\pi}{4},a_5=\frac{7\pi}{4},a_6=2\pi$이므로 답은 $\frac{100}{\pi}\times(2\pi-\frac{3\pi}{4})=125$다. 참고로 나는 어떤 이유에서인지 그래프를 $2\pi$ 까지만 그려놓고서는 왠지 사인 곡선 모양이 지속되어 극점이 아닐 것 같은 느낌을 받고서는 $a_6=\frac{9\pi}{4}$ 라고 써서 틀렸다. 그래프는 항상 끝까지 그려야 한다.

기하

23번: $\frac{a+9}{2}=4, \frac{6+b}{2}=7$에서 $a=-1, b=8$로 답은 7

24번: $\frac{3}{a^2}+\frac{4}{6}=1, a=3$이고, 미분하면 $\frac{2x}{9}+\frac{y}{3}\frac{dy}{dx}=0, \frac{2\sqrt3}{9}+\frac{-2}{3}\frac{dy}{dx}=0, \frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt3}{3}$

25번: $4|\overrightarrow{a}|^2 +|\overrightarrow{b}|^2-4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=17, \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=9$이므로 $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2-2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2, |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt2$

26번: A'B'P를 평면 ABP로 정사영 했을 때 높이가 6에서 1.5로 줄어들었으므로, PM을 정사영 할 때에도 높이가 같은 비율로 줄어들었어야 해서 $\frac{1}{4}PM=6, PM=24$

27번: B와 C의 x좌표 차이를 t라고 하면 $C(t-2, \sqrt{8(t-2)}), D(2t-2, -\sqrt{8(2t-2)})$이고 CF와 FD의 기울기가 같으므로 $\frac{\sqrt{8(t-2)}}{t-4}=\frac{\sqrt{8(2t-2)}}{2t-4}, t=3$, 대입하면 $D(4, -4\sqrt2), C(1, 2\sqrt2), B(-2, 8\sqrt2), A(16, 8\sqrt2)$이고 답은 $\frac{1}{2}\times18\times12\sqrt2=108\sqrt2$

28번: H에서 AB까지의 거리는 4이므로 $FH=4\csc\frac{\pi}{6}=8$, $HQ=4, F'Q=18-FQ=6$인데 공교롭게도 $FQ:F'Q=2:1$임을 알게 되어 $\angle QF'F=\frac{\pi}{2}$, $F'F=12\cos\frac{\pi}{6}=6\sqrt3$이다. AB의 중점을 원점, A에서 B로 가는 방향을 양의 방향으로 두면 H의 x좌표는 $\sqrt3$이므로 원 상에서 높이는 $\sqrt{9^2-\left ( \sqrt3 \right )^2}=\sqrt{78}$이고 사영시킨 후에는 4가 되어, $\cos\theta=\frac{4}{\sqrt{78}}=\frac{2\sqrt{78}}{39}$

29번: F', Q, P는 이 순서로 일직선이다(자꾸 Q를 F'P의 연장선에 찍어서 실수했는데, 이건 그림의 오차고 이차곡선과 직선의 교점이 세 개일 수가 없기 때문에 F'과 P 사이에서 만나는 것이 Q일 수밖에 없다). $FF'=FP$인 경우$PQ+QF+FP=PF'+(QF-QF')+PF=(2c+6)+6+2c=4c+12=28, c=4$이다. $FF'=F'P$인 경우, $PQ+QF+FP=PF'+(QF-QF')+PF=2c+6+(2c-6)=4c=28, c=7$이다. 답은 4+7=11이다.

30번: $\overrightarrow{AX}=(\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{QE}+\overrightarrow{RF})-(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF})$이므로, 크기가 주어진 세 벡터 $\overrightarrow{PD}, \overrightarrow{QE}, \overrightarrow{RF}$의 방향이 모두 $ -(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AF})$와 같아야 한다. 따라서 PQR은 DEF를 평행이동한 것이므로 S는 삼각형 DEF의 넓이와 같다. ADF, BDE, CEF가 각각 ABC의 $\frac{1}{4}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{16}$씩 차지하므로 $S=\frac{7}{16}|\triangle ABC|=\frac{7}{16}\times4\sqrt3=\frac{7\sqrt3}{4}$로 답은 147이다.