Mixtilinear circle의 성질

Mixtilinear circle은 수학 올림피아드의 기하 영역에서 자주 등장하는 원이다. 이 원이 명시적으로 주어지는 경우도 있지만, 이보다는 이 원을 보조적으로 잡으면 문제 풀이가 쉬워지는 경우가 있다. 그래서 이 원의 성질을 알고 있으면 문제를 날로 먹을 수 있는 경우가 상당히 있으므로, 문제를 풀면서 이 원을 접하게 될 때마다 추가적인 성질들을 기록해 두고자 한다.

Mixtilinear circle의 정의

삼각형 ABC에서 AB, AC에 접하고 (ABC)에 외접하는 원을 A-mixtilinear excircle 이라 하고, AB, AC에 접하고 (ABC)에 내접하는 원을 A-mixtilinear incircle이라 한다. 여기서 (ABC)는 삼각형 ABC의 외접원을 의미한다.

기초 성질; EGMO 2023 #6

Mixtilinear circle의 가장 기본적인 성질을 적도록 하겠다. 이 성질을 알아야 mixtilinear circle에 대한 직관적인 해석을 얻을 수 있다고 말할 수 있는 성질이다.

 

삼각형 ABC의 A-mixtilinear circle $\omega$ 와 AB, AC, 외접원 $\Omega$의 접점을 각각 D, E, T라 할 때 다음이 성립한다.

1) TD와 $\Omega$ 의 교점 M은 C를 포함하지 않는 호 AB의 중점이다.

(proof) T에서 $\omega$와 $\Omega$의 공통 외접선 $l$을 생각하고 접현각과 원주각의 관계를 적용하면 $$\angle DTB=\measuredangle (TD, l)-\measuredangle (TB, l)=\angle TDB-\angle BAT=\angle ATM$$

즉 호 AM과 BM에 대한 원주각의 크기가 같음.

2) TE와 $\Omega$ 의 교점 L은 B를 포함하지 않는 호 AC의 중점이다.

(proof) 1)과 유사하다.

3) 삼각형 ABC의 내심 I는 변 DE의 중점이다.

(proof) $\Omega$ 위의 6개의 점 L, B, A, C, M, T에서 Pascal의 정리에 의해, $LB\cap CM=I, BA\cap MT=D, AC\cap TL=E$는 일직선이다. 따라서 I는 DE 위에 있고 각 BAC의 이등분선 위에도 있으므로 DE의 중점이다.

4) 호 BAC의 중점 N에 대해 N, I, T는 일직선이다.

(proof) I는 DE의 중점이고, TA는 각 DTE의 symmedian이므로 TA와 TI는 isogonal 하다. 한편 호 AM에 대한 원주각의 크기는 $\frac{\angle C}{2}$로 호 NL에 대한 원주각의 크기와 같으므로, TI는 N을 지난다.

5) 사각형 AMTL은 조화사각형이다.

(proof) T(T, A, D, E)가 조화선다발이므로 이를 $\Omega$에 사영하면 된다.

이제 위의 성질들을 이용해서 굉장히 기본적인 문제인 EGMO 2023 #6을 풀도록 하겠다. 근축을 이용한 쉬운 풀이가 존재하지만 나는 mixtilinear circle로 풀었다.

성질 1로부터 $w_b \cap AB=D, w_c \cap AC=E$에 대해 $S_c, D, E, S_b$는 일직선이므로, $\angle ADE=\frac{\angle B+\angle C}{2}=\angle AED, AD=AE$ 로부터 A는 $\omega_b, \omega_c$ 의 근축 위에 있다. 성질 4로부터 A-mixtilinear circle과 외접원의 접점 T에 대해 AT가 $\omega_b, \omega_c$의 근축이면 된다. 성질 5로부터 $AS_cTS_b$는 조화사각형이다. 따라서 외접원에서 $S_b, S_c$ 에서의 두 접선의 교점 U는 AT 위에 있다. U에서 $\omega_b, \omega_c$까지의 방멱은 같으므로, A와 U에서 방멱이 같아 증명이 끝난다.